Đường tròn đơn vị

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Vòng tròn đơn vị với một số góc đặc biệt.

Trong toán học, đường tròn đơn vị hay vòng tròn đơn vị là đường tròn với bán kính là 1 đơn vị. Thông thường, đặc biệt là trong lượng giác, vòng tròn đơn vị là hình tròn có bán kính 1 với tâm tại gốc tọa độ (0,0) trong không gian 2 chiều. Nó thường được ký hiệu là S¹.

Mục lục

1 Phương trình định nghĩa đường tròn đơn vị
2 Dĩa đơn vị
3 Đường tròn đơn vị trong lượng giác
4 Đường cycloid
5 Xem thêm

[sửa] Phương trình định nghĩa đường tròn đơn vị

Có nhiều cách định nghĩa đường tròn đơn vị.

Trên mặt phẳng R², đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng một trong những phương trình sau:

$x^2 + y^2 = 1 \;$

$\|\mathbf{r}\| = 1 \;$

$\begin{cases} x = cos(\theta) \\ y = sin(\theta) \end{cases}$

V.v.

Trên mặt phẳng phức C, đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng phương trình:

$|z| = 1 \,$

[sửa] Dĩa đơn vị

Dĩa đơn vị là phần mặt phẳng bên trong (tức là bên có chứa gốc tọa độ) đường tròn đơn vị. Nói cách khác, trên mặt phẳng thực:

$x^2 + y^2 \leq 1 \;$

$\|\mathbf{r}\| \leq 1 \;$

$\begin{cases} |x| \leq |cos(\theta)| \\ |y| \leq |sin(\theta)| \end{cases}$

V.v.

Trên mặt phẳng phức C:

$|z| \leq 1 \,$

[sửa] Đường tròn đơn vị trong lượng giác

Tất cả các hàm lượng giác đều có thể tính được từ đường tròn đơn vị có tâm tại O.

Đường tròn đơn vị có vị trí đặc biệt trong lượng giá vì từ đó có thể tính được tất cả các hàm lượng giác.

Nếu A là một điểm trên đường tròn đơn vị, $θ$ là góc giữa trục $x$ và đường OA (trong hình) thì:

$cos(\theta) \,$ = giá trị điểm A chiếu xuống trục $x \,$ , là đoạn OC trong hình.

$sin(\theta) \,$ = giá trị điểm A chiếu xuống trục $y \,$ , là đoạn AC trong hình.

$tan(\theta) \,$ hay còn viết là $tg(\theta)\,$ = chiều dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục $x \,$ , là đoạn AE trong hình.

$cot(\theta) \,$ hay còn viết là $cotg(\theta)\,$ = chiều dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục $y \,$ , là đoạn AF trong hình.

$sec(\theta) \,$ (secant) = chiều dài từ tâm theo trục $x \,$ tới đường tan, là đoạn OE trong hình.

$csc(\theta) \,$ (cosecant) = chiều dài từ tâm theo trục $y \,$ tới đường cotan, là đoạn OF trong hình.

Có hai hàm lượng giác ít dùng nhưng rất dễ thấy trong đường tròn đơn vị, là $\textrm{versin} \,$ và $\textrm{coversin} \,$ .

Hàm $\textrm{versin} \,$ tức versed sine là đoạn còn lại trên trục $x \,$ từ sau điểm $cos(\theta) \,$ tới hết đường bán kính.

Còn hàm $\textrm{coversin} \,$ tức coversed sine hay coversin tương đương như vậy, trên trục $y \,$ : Đoạn còn lại trên trục $y \,$ từ sau điểm $sin(\theta) \,$ tới hết đường bán kính.

Hai hàm này có phần hữu dụng như sau:

$\textrm{versin}(\theta) = 1 - \cos (\theta) = 2 \sin^2\left(\frac{\theta} {2}\right) \,$

$\textrm{coversin}(\theta) = 1 - \sin(\theta) = \textrm{versin}(\pi/2 - \theta) \,$

[sửa] Đường cycloid

Lăn đường tròn, một điểm trên đường tròn sẽ vẽ thành đường cycloid (màu đỏ)

Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục $x \,$ . Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục $x \,$ , điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.

Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường gọi tên là curtate cycloid.

Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có viên chu $C \,$ thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài $4C \,$ .