چینی تقسیم باقی مسلئہ اثباتی

وکیپیڈیا سے

فہرست

1 مسلئہ اثباتی
- 1.1 مثال
- 1.2 مثال
2 مسلئہ اثباتی کی زیادہ عام صورت

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

دو یکلخت مطابقت مساوات
$\ w \equiv a_1 \mod m_1$
$\ w \equiv a_2 \mod m_2$
جہاں $\ \gcd(m_1,m_2)=1$ ۔ اب اگر ہم x اور y اس طرح نکالیں کہ $\ m_1 x \equiv 1 \mod m_2$ اور $\ m_2 y \equiv 1 \mod m_1$
تو دونوں مطابقت مساوات کی تسکین کرتا ہؤا ایک حل یہ ہے $\ w = m_1 x a_2 + m_2 y a_1$
یہ حل بہ چکر $\ m_1 m_2$ ہے۔ اس لئے کوئی بھی عدد جو اس حل سے مطابقت رکھے بہ چکر $\ m_1 m_2$ ، دونوں مساوات کا یکلخت حل ہے۔ یعنی $\ w^\prime \equiv w \mod m_1 m_2$ مساوات کے حل ہیں۔
قدیم چین میں یہ مسلئہ اثباتی معلوم تھا اس لیے اس کو "چینی" کہتے ہیں۔

[ترمیم کریں] مثال

دو یکلخت مطابقت مساوات
$\ w \equiv 11 \mod 15$
$\ w \equiv -11 \mod 14$
دیکھو کہ $\ \gcd(14,15)=1$
اب چونکہ
$\ 15 x \equiv 1 \mod 14 \longrightarrow x=1$
اور
$\ 14 y \equiv 1 \mod 15 \longrightarrow y=14$
اسلئے مساوات کا حل یہ ہے: $\ w = 15 \times 1 \times -11 + 14 \times 14 \times 11 = 1991$
اب چونکہ یہ حل بہ چکر $14 \times 15 = 210$ ہے، اس لئے سب سے چھوٹا مثبت حل $w = 101$ ہے۔

[ترمیم کریں] مثال

بابر جمعے جمعے نہاتا ہے۔ اور ہر پانچویں دن منڈی جاتا ہے۔ اس بار وہ ہفتے کے دن منڈی گیا تھا۔ کب ایسا دن آئے گا جب بابر کو جمعے کو منڈی جانا پڑے گا۔
اس جمعے کو ہم صفر لکھتے ہیں، ہفتے کو ایک، اور اس طرح۔ اب جمعے کو نہانے کو ہم ایسے مساوات میں لکھ سکتے ہیں:
$\ w \equiv 0 \mod 7$
ہر پانچویں دن منڈی جانے کو، اور اس ہفتے، ہفتے والے دن کو منڈی جانے کو یہ مساوات بتاتی ہے:
$\ w \equiv 1 \mod 5$
اب چونکہ 7 اور 5 باہمی مفرد عدد ہیں، اس لیے چینی مسلئہ اثباتی استعمال ہو سکتا ہے۔
$\ 7 x \equiv 1 \mod 5 \longrightarrow x=3$
$\ 5 y \equiv 1 \mod 7 \longrightarrow y=3$
اسلئے ان مساوات کا حل یہ ہے: $\ w = 7 \times 3 \times 1 + 5 \times 3 \times 0 = 21$
یعنی بابر کو ہر تیسرے جمعے منڈی جانا اور نہانا اسی دن کرنا ہوں گے۔

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی کی زیادہ عام صورت

یہاں n مطابقت مساوات

$\begin{matrix} w \equiv a_1 \mod m_1 \\ w \equiv a_2 \mod m_2 \\ \vdots \\ w \equiv a_n \mod m_n \end{matrix}$
جہاں مثبت اعداد $\ m_1, m_2, \cdots, m_n$ میں سے ہر دو اعداد باہمی مفرد ہیں (یعنی کسی بھی دو اعداد کا عاد اعظم ایک (1) ہے) ۔
چلو $M = m_1 m_2 \cdots m_n$
اب اگر $x j$ نیچے دی مطابقت مساوات کا حل ہے
$\ \frac{M}{m_j} x_j \equiv 1 \mod m_j \,,\, j=1,2,\cdots,n$
تو تمام n یکلخت مطابقت مساوات کا ایک حل یوں ہو گا
$\ w= \sum_{j=1}^n a_j \frac{M}{m_j} x_j$
یہ حل بہ چکر $M$ ہے۔ اس لئے کوئی بھی عدد جو اس حل سے مطابقت رکھے بہ چکر $M$ ، تمام n مساوات کا یکلخت حل ہے۔ یعنی $\ w^\prime \equiv w \mod M$ مساوات کے حل ہیں۔

              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ           ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%DA%86/%DB%8C/%D9%86/%DA%86%DB%8C%D9%86%DB%8C_%D8%AA%D9%82%D8%B3%DB%8C%D9%85_%D8%A8%D8%A7%D9%82%DB%8C_%D9%85%D8%B3%D9%84%D8%A6%DB%81_%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA%DB%8C.html"

زمرہ: ریاضیات

We provide Linux to the World

چینی تقسیم باقی مسلئہ اثباتی

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

[ترمیم کریں] مثال

[ترمیم کریں] مثال

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی کی زیادہ عام صورت

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں