Ігри антагоністичні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

І́гри антагоністи́чні — ігри з двома гравцями які мають прямо протилежні інтереси.

Зміст

1 Визначення антагоністичних ігор
2 Стратегії гравців в антагоністичних іграх
3 Моделі антагоністичних ігор
4 Джерела інформації
5 Дивіться також

[ред.] Визначення антагоністичних ігор

Формально, ця протилежність (антагоністичність), виявляється в тому, що при переході від однієї ситуації до іншої збільшення (зменшення) виграшу одного гравця, тягне за собою зменшення (збільшення) виграшу іншого. Таким чином, сума виграшів гравців в будь-якій ситуації в антагоністичних іграх стала (як правило, можна вважати, що вона дорівнює нулю). Тому, антагоністичні ігри називають, також, іграми двох осіб з нульовою сумою (іноді — нульовими іграми).

Математичне визначення поняття антагоністичності (рівність по величині і протилежність по знаку функцій виграшу гравців) є формальним поняттям, яке відрізняється від змістовного філософського поняття, але зберігає його основну рису — непримиренність протиріч.

Антагоністичні ігри в нормальній формі (дивіться Теорія ігор) задають системою Γ = <A, B, H>, де A, B — множини стратегій першого та другого гравців відповідно, H — функція з дійсними значеннями, визначена на всій множині ситуацій A × B, яка є функцією виграшу першого гравця (за визначенням, функція виграшу другого гравця дорівнює − H). Процес розігрування антагоністичних ігор полягає в виборі гравцями деяких своїх стратегій a ∈ A, b ∈ B, після чого перший гравець отримує від другого суму H(a, b).

[ред.] Стратегії гравців в антагоністичних іграх

Розумна поведінка гравців в антагоністичних іграх відбувається на основі принципу максіміна. Якщо

$\max_{a\in A}\inf_{b\in B} H(a, b) = \min_{b\in B}\sup_{a\in A} H(a, b)$ . (1)

Тоді в кожного гравця існують оптимальні стратегії, тобто, стратегії, на яких досягаються в (1) зовнішні екстремуми. Однак, навіть в найпростіших випадках рівність (1) може не мати місця. Наприклад, в матричній грі з матрицею

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

виявляється

$\max_i\min_j a_{ij} = -1,\quad \min_j\max_i a_{ij} = 1$ .

Для того, щоб забезпечити реалізованість принципу максіміна, множини стратегій гравців розширюють розширюють до множини змішаних стратегій, які полягають в випадковому виборі гравцями своїх початкових стратегій, які називаються чистими, а функція виграшу визначається як математичне очікування виграшу в умовах застосування змішаних стратегій. В наведеному прикладі оптимальними змішаними стратегіями гравців є вибори гравцями обох своїх стратегій з ймовірностями 1/2, а значення гри дорівнює нулю.

Якщо множини A та B скінченні, то антагоністична гра називається матричною грою; для неї завжди існують оптимальні змішані стратегії у обох гравців. Якщо ж одна із множин A або B нескінченне, то антагоністична гра називається нескінченною.

Принцип максіміна для нескінченних антагоністичних ігор може здійснюватись (якщо рівність (1) не має місця) у вигляді рівності:

$\sup_{a\in A}\inf_{b\in B} H(a, b) = \inf_{b\in B}\sup_{a\in A} H(a, b)$ .

В такому випадку оптимальною стратегією для гравців не існує, однак для будь якого ε > 0 існують ε-оптимальні стратегії (тобто, стратегії, які забезпечують досягнення значення гри з заданою точністю ε) у обох гравців.

Якщо обидві множини A та B нескінченні, то оптимальні змішані стратегії (і навіть ε-оптимальні) не завжди існують. Наприклад, в грі з функцією виграшу

$H(a, b) = \begin{cases} 1, & a > b\\ 0, & a = b\\ -1, & a < b \end{cases}$ ,

де стратегіями гравців є множини натуральних чисел.

[ред.] Моделі антагоністичних ігор

Існує велика кількість явищ, для яких антагоністичні ігри є задовільною моделлю. До них відносяться деякі (але не всі) військові операції, спортивні і салонні ігри, прийняття ділових рішень в умовах конкуренції.

Прийняття рішень в умовах невизначеності, наприклад, ігри проти природи, можна також моделювати як антагоністичні ігри, припускаючи, що справжня, але невідома закономірність природи призводить до дій, найменш сприятливих для гравця. Це припущення не значить, однак, що природа наділена свідомістю, спрямованою проти людини.

В антагоністичних іграх, за визначенням, неможливі будь які переговори і угоди між гравцями. Дійсно, якщо в результаті будь яких переговорів або домовленостей один із гравців зумів би збільшити свій виграш на деяку величину, то виграш іншого гравця зменшився б на таку ж величину, тобто, для нього такі домовленості були б невигідними.

[ред.] Джерела інформації

Енциклопедія кібернетики, Яновська Е. Б., т. 1, с. 341-342.

[ред.] Дивіться також

	Статті теорії ігор
Типи ігор	антагоністичні · диференціальні · матричні · на виживання · рефлексивні · азартні · без побічних платежів · безкоаліційні · біматричні · вироджені · динамічні · з вибором моменту часу · кооперативні · на графі · на одиничному квадраті · опуклі · позиційні · прості · рекурсивні · стохастичні
Ситуації	Безвиграшна ситуація · Парадокс Бертрана (економіка) · Ситуація рівноваги
Стратегія	змішана · оптимальна · поведінки · чиста
Теореми	Максіміна принцип · Мінімаксу теорема
Ігри	Дилема в'язня