Гра безкоаліційна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гра безкоаліційна — гра, учасники якої, діючи ізольовано один від одного переслідують індивідуальні цілі.

Формально безкоаліційна гра може бути задана системою:

$\Gamma = \langle I, \{s_i\}_{i \in I}, \{H_i\}_{i\in I} \rangle$ ,

де I — {1, 2, ..., n} — множина гравців, s_i — множина стратегій гравця i, а H_i — його функція виграшів, визначена на декартовому добутку S = s₁ × ... × s_n і яка приймає дійсні значення.

[ред.] Приклад безкоаліційної гри

В якості прикладу можна навести гру Морра з трьома гравцями. Кожний із трьох гравців показує двом іншим один або два пальці. Якщо всі гравці показали однакову кількість пальців, то виграш кожного із гравців дорівнює 0. Якщо ж один із гравців показав кількість пальців, відмінну від показаних його партнерами, то він отримує 1, а два інших по -1/2.

Однією із стратегій, які призводять до ситуацій рівноваги, є така змішана стратегія: кожний із гравців, з ймовірністю $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ показує один палець і з ймовірністю $\frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$ — два.

[ред.] Розв'язки гри

Важливим принципом оптимальної поведінки гравців є принцип здійсненності мети, який приводить до ситуацій рівноваги. Ці ситуації, а також деякі їхні множини прийнято вважати розв'язками безкоаліційних ігор.

Ситуації рівноваги s і t називаються взаємозамінними, якщо будь яка ситуація r = (r₁, ..., r_n), де r_i = s_i або r_i = t_i також рівноважна.

Вони називаються еквівалентними, якщо H_i(s) = H_i(t) для всіх i ∈ N.

Нехай Q — множина всіх ситуацій рівноваги, а Q&' — множина ситуацій рівноваги, оптимальних по Парето. Гра називається розв'язуваною по Нешу, якщо всі s ∈ Q еквівалентні і взаємозамінні.

Гра називається сильно розв'язуваною, якщо Q&' непорожнє і всі s ∈ Q&' еквівалентні та взаємозамінні.

Доведено, що безкоаліційна гра необов'язково має розв'язок по Нешу, але якщо вона його має, то цей розв'язок єдиний.

Існують інші підходи до визначення оптимальної поведінки в безкоаліційних іграх.

[ред.] Безкоаліційні ігри

До безкоаліційних ігор належать

Антагоністичні ігри (в тому числі, ігри на виживання),
Ігри на одиничному квадраті,
Динамічні ігри,
Матричні ігри,
Стохастичні ігри,

та деякі інші.

[ред.] Джерела інформації

Енциклопедія кібернетики, Ткаченко Г. П., т. 1, с. 336.

[ред.] Дивіться також

Парето оптимум
Гра кооперативна (протилежна безкоаліційній)

	Статті теорії ігор
Типи ігор	антагоністичні · диференціальні · матричні · на виживання · рефлексивні · азартні · без побічних платежів · безкоаліційні · біматричні · вироджені · динамічні · з вибором моменту часу · кооперативні · на графі · на одиничному квадраті · опуклі · позиційні · прості · рекурсивні · стохастичні
Ситуації	Безвиграшна ситуація · Парадокс Бертрана (економіка) · Ситуація рівноваги
Стратегія	змішана · оптимальна · поведінки · чиста
Теореми	Максіміна принцип · Мінімаксу теорема
Ігри	Дилема в'язня