แฟร็กทัล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ภาพแฟร็กทัล จาก 'เซตมานด้ลบรอ', วาดโดยการพล็อตสมการวนซ้ำไปเรื่อยๆ

แฟร็กทัล (fractal) ในปัจจุบันเป็นคำที่ใช้ในเชิงวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ หมายถึง วัตถุทางเรขาคณิต ที่มีคุณสมบัติ self-similar คือ ดูเหมือนกันไปหมด (เมื่อพิจารณาจากแง่ใดแง่หนึ่ง) ไม่ว่าจะดูที่ระดับความละเอียด (โดยการส่องขยาย) หรือ สเกลใด ๆ ก็ตาม

[แก้] ประวัติ

สิ่งที่เรารู้จักกันในนามของแฟร็กทัลนั้น ได้ถูกค้นพบมานานก่อนที่คำว่า แฟร็กทัล จะถูกบัญญัติขึ้นมาใช้เรียกสิ่งเหล่านี้. ในปี ค.ศ. 1872 Karl Weierstrass ได้ยกตัวอย่างของฟังก์ชัน ที่มีคุณสมบัติ "everywhere continuous but nowhere differentiable" คือ มีความต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่สามารถหาค่าดิฟเฟอเรนเชียลได้. ต่อมาในปี ค.ศ. 1904 Helge von Koch ได้ยกตัวอย่างทางเรขาคณิต ซึ่งได้รับการเรียกขานในปัจจุบันนี้ว่า "Koch snowflake" ต่อมาในปี ค.ศ. 1938 Paul Pierre Lévy ได้ทำการศึกษา รูปร่างของ กราฟ (curve และ surface) ซึ่งมีคุณสมบัติที่ส่วนประกอบย่อย มีความเสมือนกับโครงสร้างโดยรวมของมัน คือ "Lévy C curve" และ "Lévy dragon curve"

เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ก็ได้ยกตัวอย่างของ เซตย่อยของจำนวนจริง ซึ่งมีคุณสมบัติแฟร็กทัลนี้ เป็นที่รู้จักกันในชื่อ เซตคันเตอร์ หรือ Cantor dust จากการศึกษาเซตคันเตอร์นี้ นักคณิตศาสตร์ เช่น Constantin Carathéodory และ Felix Hausdorff ได้ขยายความแนวคิดเรื่อง มิติ (dimension) จากเดิมที่เป็นจำนวนเต็ม ให้ครอบคลุมถึงมิติที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม. นอกจากนั้น นักคณิตศาสตร์อีกหลายคน ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 ถึงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 เช่น อองรี ปวงกาเร, Felix Klein, Pierre Fatou และ Gaston Julia ได้ศึกษา "Iterated functions" ซึ่งมีความเกี่ยวพันอย่างใกล้ชิดกับ คุณสมบัติ self-similarity แต่บุคคลเหล่านั้นก็ไม่ได้เห็นถึงความสวยงามของภาพจาก itereated functions ที่เราได้เห็นกัน เนื่องจากการแสดงผลที่ต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์กราฟฟิค ซึ่งพัฒนาขึ้นในภายหลัง

ในปี ค.ศ. 1960 เบอนัว มานด้ลบรอ (Benoit Mandelbrot) ได้ทำการศึกษาถึงคุณสมบัติ self-similarity นี้ และตีพิมพ์บทความชื่อ How Long is the Coast of Britain ? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. แมนเดลบรอต ได้เห็นถึงความสัมพันธ์ของผลงานในเรื่องต่างๆ ในอดีต ซึ่งดูราวกับจะเป็นคนละเรื่องไม่มีความสัมพันธ์กัน เขาได้รวบรวมแนวความคิด และบัญญัติคำว่า แฟร็กทัล ขึ้น เพื่อใช้ระบุถึงวัตถุที่มีคุณสมบัติ self-similarity

[แก้] คำจำกัดความ

แฟร็กทัล นั้นนอกจากเป็นวัตถุที่มี self-similarity แล้วยังมีอีกคุณสมบัติหนึ่งคือ มีมิติ^[1] Hausdorff ไม่เป็นจำนวนเต็ม (นิยามโดย เบอนัว มานด้ลบรอ ไว้ว่า A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.) แต่คำจำกัดความนี้ดูเหมือนจะมีปัญหาอยู่มาก เนื่องจาก ปรากฏว่ามีวัตถุที่มีรูปร่างเป็นแฟร็กทัล แต่ไม่ได้เป็นไปตามคุณสมบัติมิตินี้

หมายเหตุ: ^ มิติ นั้นมีหลายนิยาม ขึ้นกับการวัด หรือ measure ที่ใช้ เช่น Hausdorff dimension, box-counting (หรือ Minkowski) dimension, packing dimension, และอื่นๆ

คำจำกัดความของสิ่งที่เราเรียกว่า แฟร็กทัล นั้นจะค่อนข้างกำกวม ไม่ชัดเจนเนื่องจาก

สิ่งที่เราพิจารณาอยู่ในขอบข่ายของ แฟร็กทัล นั้นจะเป็นสิ่งที่ "irregular" หรือ ไม่สม่ำเสมอ คือไม่อยู่ในขอบข่ายที่จะพิจารณาด้วย เรขาคณิตแบบดั้งเดิมได้. แต่ว่าขอบข่ายของความไม่สม่ำเสมอที่เราพิจารณานั้น ไม่สามารถระบุให้ชัดเจนได้
คุณสมบัติ self-similarity นั้น มองได้หลายแง่มุม. ความเหมือนนั้นเหมือนได้หลายแง่ เช่น นอกจากเหมือนกันทุกประการ ยังมีเหมือนในเชิงสถิติ และอื่นๆ ซึ่งทำให้คำจำกัดความนั้นไม่สามารถระบุเด่นชัดลงไปได้
เมื่อมองในแง่ของการสร้างแฟร็กทัลโดยการใช้โครงสร้างทำซ้ำ หรือ recursive จะเห็นว่าเราสามารถจะระบุแฟร็กทัลนั้น ด้วยโครงสร้าง recursive ของมันได้. แต่ในความเป็นจริง มีเพียงบางแฟร็กทัลเท่านั้น ที่เราสามารถระบุด้วยโครงสร้าง recursive ได้

[แก้] ตัวอย่าง

เซตคันเตอร์, Cantor dust และ ฟังก์ชันคันเตอร์ ซึ่งจัดเป็นหนึ่งในฟังก์ชันประเภทที่เรียกว่า Devil's staircase
Koch curve/snowflake/star
Sierpinski carpet และ Sierpinski triangle
Space-filling curve หรือ Peano curve
เซตจูเลีย และ เซตมานด้ลบรอ
Dragon curve

[แก้] ดูเพิ่ม

[แก้] โปรแกรมสร้างภาพแฟร็กทัล

Makin' Magic Fractals
Xaos - Realtime generator - Windows, Mac, Linux, etc
Fractint - available for most platforms
FLAM3 - Advanced iterated function system designer and renderer for all platforms.
en:Sterling Fractal - Advanced fractal-generating program by Stephen Ferguson.