อสมการของมาร์คอฟ
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของมาร์คอฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่มีค่าบวกจะมีมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงบวกคงที่หนึ่งๆ ชื่อของอสมการตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียชื่อ อังเดร มาร์คอฟ
อสมการของมาร์คอฟมีใจความดังต่อไปนี้: ให้ 
เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าไม่เป็นลบและ 
เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ แล้ว
![\Pr[X \geq t] \leq \frac{\mathrm{E}[X]}{t}](../../../math/b/d/e/bdef44e762137dc9924edfe37fdcae34.png)
เห็นได้ว่า อสมการของมาร์คอฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นกับค่าคาดหมาย เนื่องจากตัวอสมการเองไม่ได้กำหนดว่าตัวแปรสุ่มต้องมีสมบัติพิเศษประการใดเลย ขอบเขตบนที่ได้จากอสมการของมาร์คอฟมักจะมีค่าสูงกว่าความเป็นจริงมาก อย่างไรก็ดีเราสามารถใช้อสมการของมาร์คอฟพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ให้ขอบเขตบนที่แน่นขึ้นได้ เช่น อสมการของเชบิเชฟ และขอบเขตเชอร์นอฟ
[แก้] การพิสูจน์
กำหนดฟังก์ชัน 
ดังต่อไปนี้ f(x) = 1 เมื่อ 
มิฉะนั้น f(x) = 0 เราได้ว่า
![\mathrm{E}[f(X)] = \Pr[X \geq t]](../../../math/8/f/2/8f27b374e48116c57ae0b1fe4162c7e7.png)
เนื่องจาก 
สำหรับทุกๆ จำนวนจริง x เราได้ว่า
![\Pr[X \geq t] \leq \mathrm{E}[X/t] = \frac{\mathrm{E}[X]}{t}](../../../math/b/0/4/b049b0dba6f0abde40afa4dd34c077bc.png)
ตามต้องการ
[แก้] อีกบทพิสูจน์หนึ่ง
ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และมีค่าเป็นจำนวนเต็ม บทพิสูจน์ที่ใช้การคำนวณอย่างง่ายด้านล่างอาจเข้าใจได้ง่ายกว่า
จากนิยามของค่าคาดหมาย และเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรสุ่ม X มีค่าไม่เป็นลบ เราได้ว่า
![\mathrm{E}[X]=\sum_{i=0}^{\infty}i\cdot\Pr[X=i]](../../../math/8/a/6/8a62073e7f65507172c8cb71c0cbea42.png)
![=\sum_{i=0}^{t-1}i\cdot\Pr[X=i] +\sum_{i=t}^{\infty}i\cdot\Pr[X=i]](../../../math/2/6/b/26bac73ea0cd96e64b91d834b3e6acb2.png)
(กระจายเทอม โดยแยกกรณี i < t กับ 
)![\geq\sum_{i=t}^{\infty}i\cdot\Pr[X=i]](../../../math/f/2/1/f2144d2cbdfc99c6c63966f8d6414c09.png)
(ทิ้งเทอมหน้าซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)![\geq\sum_{i=t}^{\infty}t\cdot\Pr[X=i]](../../../math/0/6/c/06c2ce18756229abd6361695c241eb4a.png)
(เนื่องจาก )![=t\cdot\left(\sum_{i=t}^{\infty}\cdot\Pr[X=i]\right)](../../../math/d/e/9/de9a9e84d51bed9908a454780da3ea0c.png)
(แยก t)![=t\cdot\Pr[X\geq t]](../../../math/0/a/a/0aa2c69baa40a3f00f8214ffefe01ff4.png)
. (เนื่องจากเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)
นั่นคือเราได้ ![\Pr[X\geq t]\leq\mathrm{E}[X]/t](../../../math/0/9/8/098ad0f3bc4a6903154daae640e489ed.png)
ตามต้องการ
[แก้] รูปแบบอื่นของ อสมการของมาร์คอฟ
บางครั้งเราอาจพบเห็น การใช้อสมการของมาร์คอฟ ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น
เมื่อ 
คือ เป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นลบ และ มีค่าไม่ลดลงแล้ว
![\Pr[X \geq t] \leq \frac{\mathrm{E}[g(X)]}{g(t)}](../../../math/4/9/f/49f9e773431e18df21a4a88efceedc85.png)
ซึ่งในกรณีที่ g(x) = etx จะนำไปสู่ ขอบเขตเชอร์นอฟ
