எண்ணவியலா முடிவிலிகள்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

இக்கட்டுரை ( அல்லது இதன் ஒரு பகுதி ) தமிழாக்கம் செய்யப்பட வேண்டியுள்ளது. இதைத் தொகுத்துதமிழாக்கம் செய்வதன் மூலம் நீங்கள் இதன் வளர்ச்சியில் பங்களிக்கலாம்.

கணிதத்தில் எண்ணவியலா முடிவிலிகள் என்பன எண்ணிக்கையிட முடியாத கணங்களாவன. அனைத்து முடிவுள்ள கணங்களும் இயலெண் கணம் முதலிய பல முடிவிலிக் கணங்களும் எண்ணக்கூடியவையே. மாறாக, அனைத்து எண்ணவியலாக் கணங்களும் முடிவிலிகளே.

முடிவிலிகளில் எண்ணிக்கையிடக் கூடிய தன்மை சற்று விந்தையாகத் தெரியலாம். எண்ணிக்கையிடக் கூடியவை என்று கூறுகையில், ஒரு கணத்தின் எல்லா உறுப்பினர்களையும் எண்ணி முடித்து இறுதியாக ஒரு எண்ணிக்கையைத் தரக்கூடியவை என்று பொருளல்ல. ஒவ்வொரு உறுப்பினருடன் ஒரு இயலெண்ணைத் தொடர்புபடுத்தி வரிசையிடப் படக்கூடியவை என்பதே பொருள். இவ்வாறு எண்ணிக்கையிடக் கூடியவை முடிவிலிகளாகவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக முழு எண்களைக் கொண்ட கணம் முடிவிலியாக இருப்பினும் எண்ணக்கூடியதே. இக்கணத்தில் சுழி என்பதை முதலாம் உறுப்பினராகவும், ஒன்று என்பதை இரண்டாம் உறுப்பினராகவும், எதிர்ம ஒன்று (-1) என்பதை மூன்றாவதாகவும், இரண்டு என்பதை நான்காவதாகவும், எதிர்ம இரண்டை ஐந்தாவதாகவும் குறிப்பிட்டு, பிற உறுப்பினர்களையும் இதே அடிப்படையில் இயலெண்களுடன் தொடர்வு ஏற்படுத்த முடியும். இவ்வாறாக, இத்தகைய கணங்கள் முடிவிலிகளாக இருந்தும் விரல் விட்டு எண்ணப்படக் கூடியவை (முடிவுள்ள நேரத்தில் எண்ணிமுடிக்கப்பட முடியாதவையாயினும்).

சில முடிவிலி கணங்களை மேற்கூறிய முறையில் இயலெண் கணத்துடன் தொடர்வு ஏற்படுத்த முடிவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக மெய்யெண் கணத்தைக் கொள்ளலாம். கேண்டரின் கோணல்கோடு நிறுவல்முறையில் மெய்யெண் கணம் மற்றும் வேறுசில கணங்களையும் எண்ணவியலாக் கணங்கள் என்று நிறுவ முடியும்.

Explicitly, a set X is uncountable if and only if there does not exist a surjective function from the natural numbers N to X.

Not all uncountable sets have the same size; the sizes of infinite sets are analyzed with the theory of cardinal numbers. Formally, an uncountable set is defined as one whose cardinality is strictly greater than $\aleph_0$ (aleph-null, the cardinality of the natural numbers).

The best known example of an uncountable set is the set R of all real numbers; Cantor's diagonal argument shows that this set is uncountable. The diagonalization proof technique can also be used to show that several other sets are uncountable as well, for instance the set of all infinite sequences of natural numbers (and even the set of all infinite sequences consisting only of zeros and ones) and the set of all subsets of natural numbers. The cardinality of R is often called the cardinality of the continuum and denoted by c or $\beth_1$ (beth-one).

The Cantor set is an uncountable subset of R. The Cantor set is a fractal and has Hausdorff dimension greater than zero but less than one (R has dimension one). This is an example of the following fact: any subset of R of Hausdorff dimension strictly greater than zero must be uncountable.

Another example of a uncountable set is the set of all functions from R to R. It is not hard to believe that this set is even "more uncountable" than R. The cardinality of this set is $\beth_2$ (beth-two) and is, indeed, larger than $\beth_1$ .

A much more abstract example of an uncountable set is the set of all countably infinite ordinal numbers, denoted Ω. The cardinality of Ω is denoted $\aleph_1$ (aleph-one). It can be shown that $\aleph_1$ is the smallest uncountable cardinal number. One might naturally wonder whether $\beth_1$ , the cardinality of the reals, is equal to $\aleph_1$ or if it is strictly larger. The statement that $\aleph_1 = \beth_1$ is called the continuum hypothesis. This hypothesis is now known to be independent from the ordinary axioms of set theory (cf. Zermelo-Frankel axioms). Which is to say, that one can either assume the continuum hypothesis is true, or assume that is false without running into any contradictions.