Transmitancja operatorowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia) - stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego U(s) przy zerowych warunkach początkowych:

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$

Transmitancja określa ogólne własności układu o jednym wejściu i jednym wyjściu, niezależne od rodzaju wymuszenia. Dla układu wielowymiarowego o r wejściach i m wyjściach można określić m x n transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem. Transmitancji używa się również dla uproszczenia obliczeń związanych z projektowaniem układu złożonego z wielu elementów. Wykorzystywana jest głównie w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, elektronice i automatyce.

[edytuj] Transmitancje układów ciągłych

Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zniennej zespolonej s, tzn. można ją przedstawić za pomocą ilorazu dwóch wielomianów:

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\ldots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1} +\ldots+a_1s+a_0}$

gdzie dla układów realizowalnych fizycznie $m \leq n$ .

Pierwiastki licznika określane są zerami transmitancji, natomiast pierwiastki mianownika określa się biegunami transmitancji lub wartościami własnymi.

[edytuj] Transmitancje układów dyskretnych

Układy dyskretne opisywane są za pomocą równań różnicowych. Transmitancja operatorowa układów dyskretnych opiera się o przekształcenie Z. Transmitancją impulsową układu dyskretnego nazywa się stosunek transformaty Z odpowiedzi układu do transformaty Z sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych.

$G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}$

Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do układów impulsowych daje w efekcie nieskończone szeregi, co zwykle nie jest wygodne w obliczeniach.

[edytuj] Przetwarzanie sygnałów

Załóżmy, że mamy dany zespolony sygnał ze składową sinusoidalną o amplitudzie $A w e$ , pulsacji $ω$ i fazie $p w e$

$x(t) = A_{we} e^{i(\omega t + p_{we})}$

(gdzie i oznacza jednostkę urojoną) i kierujemy go na wejście liniowego statycznego układu. Odpowiadająca składowa na wyjściu układu będzie spełniać następujące równanie:

$x(t) = A_{wy} e^{i(\omega t + p_{wy})}$

Zwracamy uwagę na fakt, że częstotliwość ω pozostała taka sama. Jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja H(z) opisuje tę zmianę dla każdej częstotliwości ω. Moduł H(z) opisuje wzmocnienie układu:

$\frac{A_{wy}}{A_{we}} = | H(i\omega) |$

Argument H(z) opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

$p_{wy} - p_{we} = \arg( H(i\omega))$ .

Transmitancja może zostać wyznaczona przez transformatę Fouriera.

[edytuj] Automatyka

W automatyce i teorii sterowania transmitancję wyznaczana się przy użyciu transformaty Laplace'a.

Załóżmy, że mamy dany stacjonarny liniowy układ dynamiczny. Na jego wejście podano sygnał u(t) i na wyjściu uzyskano odpowiedź y(t). Jeżeli dokonamy transformaty Laplace'a funkcji opisujących sygnał wejściowy i wyjściowy

$Y(s) = \mathcal{L} \left\{y(t)\right\}$

$U(s) = \mathcal{L} \left\{u(t)\right\}$

i podzielimy otrzymane transformaty to otrzymamy transmitancję układu G(s):

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$ .

Badanie układu o nieznanych właściwościach dokonuje się poprzez podanie na jego wejście sygnału (najczęściej skok jednostkowy) i wyznaczenie przebiegu sygnału wyjściowego, przybliżanego funkcją matematyczną, której znajomość pozwala na określenie transmitancji. Na podstawie znajomości funkcji przejścia można wyznaczyć sygnał jaki uzyskamy na wyjściu układu dla dowolnego sygnału wejściowego. Wystarczy dokonać odwrotnej transformaty Laplace'a:

$y(t)= \mathcal{L}^{-1}\left\{U(s)\cdot G(s)\right\}$ ,

gdzie G(s) jest transmitancją układu, a U(s) transformatą Laplace'a sygnału wejściowego.

Innym częstym zastosowaniem transmitancji jest wyznaczanie wartości, do której zmierza sygnał wyjściowy układu przy zadanym wejściu. Korzysta się wtedy z własności granicznych transformaty Laplace'a (twierdzenie o wartości granicznej):

$y(\infty)=\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} \left( s\cdot G(s) \cdot U(s)\right)$ ,