Macierz schodkowa

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz jednostkowa macierz zerowa macierz elementarna macierz schodkowa macierz trójkątna macierz symetryczna macierz diagonalna macierz idempotentna macierz nilpotentna macierz hermitowska macierz unitarna macierz ortogonalna (!) macierz dopełnień algebraicznych (!) macierz dołączona więcej... Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy potęgowanie macierzy odwracanie macierzy diagonalizacja macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się odnośnie jakich informacji pojawiły się wątpliwości.

Zdefiniujemy jedynkę wiodącą jako element macierzy dla którego zachodzą własności:

• w wierszu znajduje się dokładnie jedna jedynka wiodąca (mogą istnieć inne elementy),
• jedynka wiodąca jest pierwszym niezerowym elementem w wierszu,
• w kolumnie poza elementami zerowymi znajduje się jedna jedynka wiodąca.

[edytuj] Definicja

Macierz schodkowa zredukowana jest macierzą o następujących własnościach:

• w wierszu znajduje się maksymalnie jedna jedynka wiodąca,
• jeżeli wiersz nie zawiera jedynki wiodącej, to jest wierszem zerowym i jest umieszczany na końcu macierzy,
• wiersze z jedynkami wiodącymi są uporządkowane kolumnowo (od lewej do prawej).

Jeżeli z definicji jedynki wiodącej usuniemy trzecią własność, otrzymamy definicję macierzy schodkowej.

[edytuj] Stwierdzenie

Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej (zredukowanej) za pomocą operacji elementarnych w skład których wchodzą:

• zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy,
• pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez liczbę różną od zera,
• dodanie do jednego wiersza macierzy innego wiersza tej samej macierzy, pomnożonego przez liczbę różną od zera.

[edytuj] Zastosowania

Ponieważ każdej macierzy odpowiada przekształcenie liniowe posiadające rząd operatora liniowego, a więc możemy mówić o rzędzie odpowiadającej mu macierzy. Dla macierzy w postaci macierzy schodkowej (zredukowanej) odczytanie rzędu jest łatwe: jest on równy ilości jedynek wiodących.

Dodatkowo jest to postać, do której zostaje sprowadzona macierz w wyniku transformacji Gaussa i pozwala na łatwe odczytanie rozwiązania macierzowego układu równań.

Istnieją również definicje, które dopuszczają inne, różne od zera elementy zamiast jedności w definicji jedynki wiodącej, co wiedzie do pojęcia elementu wiodącego, lecz nie są one najszczęśliwsze. Inną nazwą macierzy schodkowej zredukowanej, choć mało spotykaną, jest "macierz eszelonowa".

[edytuj] Przykłady

Macierze A' i B są macierzami schodkowymi niezredukowanymi.