Ślad macierzy
Z Wikipedii
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
|
Niektóre typy macierzy Operacje na macierzach Inne zagadnienia |
edytuj ten szablon |
W algebrze liniowej, ślad macierzy kwadratowej A stopnia n definiujemy jako sumę elementów na jej głównej przekątnej:
- .
Stosowane są również oznaczenia: lub .
[edytuj] Właściwości
- Ślad jest operatorem liniowym:
- (addytywność),
- (jednorodność),
- dla dowolnych macierzy i skalaru .
- Ponieważ przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, ślad danej macierzy jest równy śladowi macierzy transponowanej:
-
- .
- Jeśli , to
-
- .
- Korzystając z tego faktu można udowodnić, że ślad dowolnego wykonywalnego iloczynu macierzy nie zmienia się przy cyklicznym przesuwaniu czynników (o ile mnożenie nadal jest wykonalne):
-
- .
- To z kolei oznacza, iż macierze podobne mają ten sam ślad:
-
- .
- Dzięki temu dla dowolnego przekształcenia liniowego (gdzie V jest skończeniewymiarową przestrzenią wektorową) możemy zdefiniować ślad wybierając dowolną bazę dla V, przedstawiając f w postaci macierzy i wyliczając jej ślad. Wynik nie będzie zależał od wyboru bazy, ponieważ macierze przekształcenia dla różnych baz są do siebie podobne (są niezmiennikiem przekształcenia liniowego).
- Związek z wartościami własnymi
- Jeśli A jest macierzą , i są wartościami własnymi macierzy A, to mamy następującą zależność:
-
- .
- Wynika to z faktu, że A można przekształcić przez podobieństwo (za pomocą operacji elementarnych) do postaci Jordana, w której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej.
- Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest zależność:
-
- .