Integral (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Det merkede området under kurven er et eksempel på integral

I kalkulus er integralet av en funksjon et utvidet begrep av en sum. Prossesen for å finne integralen kalles integrasjon. Prossesen brukes vanligvis for å finne volum, masse, forskyvning, osv., når inndelingen eller endring per tid med respekt til en annen mengde er spesifisert.

Basert på funksjonseksemplet $f (x) = x 2$ , vil det ubestemte integralet av $f (x)$ uttrykkes slik: $\int f(x)\,dx = \frac{1}{3}x^3 + C$ , hvor C er integrasjonskonstanten.

Integralet av en potens (n er et reelt tall) ser slik ut: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ hvis }n \ne -1$

For n = -1 gjelder: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

[rediger] Geometrisk tolkning

Arealet av det område som begrenses av x-aksen og funksjonskurven mellom x = a og x = b (forutsatt at a er mindre enn b og at f(x) er positiv for alle x mellom a og b) bruker å betegnes med med

$S = \int_a^b f(x)\,dx.$

Integralet er i denne sammenhengen en generalisering av begrepet areal da integralet kan ha negativ verdi. For eksempel er

$S = \int_\pi^{2\pi} \sin(x)\,dx = -2$

[rediger] Formell definisjon

Formelt kan man si at om $f(x) \geq 0$ så er integralet mellom a og b et mål på mengden

$S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: a \leq x \leq b, 0\leq y \leq f(x) \}.$

Avhengig av hvor nøyaktig integralet defineres, og for hvilke funksjoner definisjonen fungerer for, varierer det mellom Riemann-integral eller Lebesgueintegral. I begge tilfellene er ideen at arealet tilnærmes med en summasjon av deler av enklere slag, og integralet defineres som grenseverdien når antall deler går mot uendelig. For Riemann-integraler blir definisjonen (se bildet):

$S = \int_a^b{f(x)dx} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$