리만 제타 함수

리만 제타 함수(Riemann zeta function) $ζ(s)$ 는 수론에서 매우 중요한 제타 함수의 일종으로, 소수의 분포와 관련이 있다.

[편집] 정의

실수 s>1에 대한 리만 제타 함수의 그래프

리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 s에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}$

{s ∈ C : Re(s) > 1} 영역에서, 이 무한급수는 수렴하고, 위 식은 해석적 함수(holomorphic function)를 정의한다.

다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다. [1]

$\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... = \infty$ ; 이것은 조화수열이다.

$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} ... = \frac{\pi^2}{6}$ ; 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.

$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} ... = 1.202...$

$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} ... = \frac{\pi^4}{90}$

$\zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5} ... = 1.036...$

$\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} ... = \frac{\pi^6}{945}$

$\zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7} ... = 1.0083...$

$\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} ... = \frac{\pi^8}{9450}$

$\zeta(9) = 1 + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{3^9} ... = 1.0020...$

$\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} ... = \frac{\pi^{10}}{93555}$

현재 리만제타함수가 실수부가 짝수(2N)인 실수에서는 $π 2 N$ 의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌고, 홀수일 때에는 3의 제타함수값은 무리수이라는 것만이 알려져 있다.

오일러는 이 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 걸 알아냈다.

$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$

즉 리만 제타 함수는 모든 소수 p에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타내어진다. 위 식은 오일러 곱 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 정수론의 기본 정리로부터 유도할 수 있다.

리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그 중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.

$\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}$

이 함수는 q = 1일 때 리만 제타 함수가 된다.