Función zeta de Riemann
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En matemática, la función zeta de Riemann zeta es una función de gran importancia en teoría de números, debido a su relación con la distribución de los números primos.
[editar] Definición
La función zeta de Riemann está definida para todo número complejo s con parte real > 1 como:
En la región {s en C: Re(s) > 1}, esta serie infinita converge. Bernhard Riemann extendió esta función a todos los números complejos s con s ≠ 1. Esta es la función objeto de la hipótesis de Riemann.
[editar] Conexión con los números primos
La conexión entre esta función y los números primos fue descubierta por Leonhard Euler:
el producto infinito se extiende sobre todos los números primos p.
Demostración: Darse cuenta que
[editar] Propiedades básicas
Euler fue capaz de calcular ζ(2k) para valores pares 2k con la fórmula:
donde B2k son los números de Bernoulli. De esta fórmula se obtiene que: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945 etc. Para números impares no se conoce una solución general.
Ramanujan realizó un gran trabajo sobre esta función.
