Insieme di definizione

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In matematica, si pone il problema dell'insieme di definizione o insieme di esistenza di una funzione, in genere di una variabile reale e a valori reali, a partire da una espressione che si può considerare della forma $y=E(x)\;$ . Il problema richiede di determinare l'insieme dei valori della $x\;$ per i quali le operazioni espresse nella $E\;$ abbiano un significato, cioè consentano effettivamente di calcolare corrispondenti valori $y\;$ ; in altri termini, si può definire l'insieme di esistenza come "il più grande" insieme di variabilità della $x\;$ che consente di dare significato alla $E(x)\;$ e quindi può essere preso come dominio della funzione $f(x)\;$ fornita dalla suddetta espressione. Osserviamo esplicitamente che il termine insieme di definizione a rigore non va confuso con quello di dominio della funzione, in quanto riguarda uno stadio di conoscenze nel quale tale dominio, e la funzione stessa, non sono sufficientemente determinati. Il termine insieme di definizione della funzione peraltro viene usato frequentemente e va considerato come un abuso di linguaggio.

La determinazione dell'insieme di definizione è un problema che viene affrontato già dai primi anni della scuola superiore, ed è importante perché consente di mettere in luce che sopra svariate espressioni di funzioni si potrebbero compiere operazioni non consentite, fatto che potrebbe portare a risultati errati (per esempio, risolvendo alcune equazioni, si potrebbero ottenere soluzioni non valide).

Per determinare l'insieme di definizione, si ricordano le seguenti regole:

Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre possibili.
La divisione è definita solo quando il divisore è diverso da 0.
L'estrazione di radice di indice pari è possibile (nei numeri reali) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0. L'estrazione di radice di indice dispari, invece, è sempre possibile.
L'elevamento a potenza è sempre possibile se l'esponente è un numero intero. Nel caso generale di un esponente reale, se la base è una costante positiva, allora è sufficiente l'esistenza dell'esponente; se la base è variabile e l'esponente è una costante reale positiva, la base deve essere positiva o nulla; se, infine, sia la base che l'esponente sono variabili, vanno considerati solo i valori per cui la base è positiva (a meno di affrontare studi nel campo complesso).
Il logaritmo è definito solo se la base è positiva e diversa da 1 e se l'argomento è positivo.
Le funzioni trigonometriche $\sin(x)\;$ e $\cos(x)\;$ sono definite per ogni valore di $x\;$ , mentre $\tan(x)\;$ è definita per $x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\;$ (espresso in radianti), dove $k\;$ è un numero intero.
Le funzioni trigonometriche inverse $\arcsin(x)\;$ ed $\arccos(x)\;$ sono definite per $-1 \leq x \leq 1\;$ , mentre $\arctan(x)\;$ è definita per ogni $x\;$ .

[modifica] Esempi

$f(x) = \frac {x+2}{x-5}.$ L'insieme di definizione è tutto il campo reale escluso il valore che annulla il denominatore, cioè 5. Si scrive brevemente che l'insieme di definizione è dato da tutti gli $x\ne5.$
$f(x) = \sqrt{x^2-5x+6}.$ Risolvendo la disequazione $x^2-5x+6\geq0\;$ troviamo che l'insieme di definizione è $\{x\leq2\} \cup \{x\geq3\}.$
$f(x) = \log(1+x).\;$ L'insieme di definizione è dato da tutti i valori per cui $1+x>0\;$ , e scriviamo brevemente $x>-1\;$ .
$f(x)=x^x.\;$ L'insieme di definizione è $x>0\;$ .
$f(x) = \log\left(\frac{\sqrt{x+2}}{x-5}\;\right)\;$ . L'insieme di definizione è l'insieme delle soluzioni del sistema: