Meetriline ruum
Meetriline ruum on hulk, millel on defineeritud meetrika – funktsioon, mis seab selle hulga igale kahele elemendile ehk punktile vastavusse reaalarvu, mida tõlgendatakse nende elementide vahelise kaugusena. Meetrika mõiste on defineeritud nii, et säilivad eukleidilise ruumi punktide vahelise kauguse mõned olulised omadused.
[redigeeri] Definitsioon
Hulka X nimetatakse meetriliseks ruumiks, kui igale kahele tema elemendile 
on vastavusse seatud reaalarv ρ(x,y) nii, et on täidetud tingimused:
-
-
(samasuse aksioom ehk identsuse aksioom)- ρ(x,y) = ρ(y,x) (sümmeetria aksioom)
(kolmnurga aksioom ehk kolmnurga võrratus).
-
Neid tingimusi nimetatakse meetrika aksioomideks.
Arvu ρ(x,y) nimetatakse elementide x ja y vaheliseks kauguseks.
[redigeeri] Kauguse mittenegatiivsus
Definitsioonist järeldub, et kaugus ei saa olla negatiivne arv. Tõepoolest, kui punktide x ja y vaheline kaugus oleks negatiivne, siis nende kaugus (mis sümmeetria aksioomi järgi langeb kokku y ja x vahelise kaugusega) oleks väiksem kui punkti x kaugus iseendast. Kuid kolmnurga aksioomi järgi 
. Et samasuse aksioomi järgi ρ(x,x) = 0 ning hüpoteesi kohaselt ρ(x,y) + ρ(y,x) on kahe negatiivse arvu summana negatiivne arv, tekitab hüpotees kauguse negatiivsuse võimalikkusest vastuolu. Seega ei saa punktidevaheline kaugus meetrilises ruumis olla negatiivne.
Kauguse mittenegatiivsus esineb sageli ühe tingimusena meetrilise ruumi ja meetrika definitsioonis.
[redigeeri] Mõiste kasutuselevõtu motiivid
Paljud kauguse mõistel põhinevad mõisted ja teoreemid, mis figureerivad eukleidilise ruumi geomeetrilistes käsitlustes ja matemaatilises analüüsis, on ülekantavad või üldistatavad meetrilistele ruumidele. See kehtib näiteks arvjadade ning punktijadade koonduvuse mõiste ning selle omaduste kohta.
