תלות (סטטיסטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בסטטיסטיקה, שני מאורעות הם בלתי תלויים אם הידיעה על התרחשותו של אחד מהם אינה משנה את ההסתברות לשני. מאורעות שאינם בלתי תלויים, הם תלויים. במלים אחרות, מאורעות הם בלתי תלויים אם ההסתברות לכך ששניהם יקרו שווה למכפלת ההסתברויות שכל אחד מהם יקרה בנפרד: $\ P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . לדוגמה, בשתי הטלות מטבע רצופות, המאורעות 'המטבע יפול על עץ בפעם הראשונה' ו'המטבע יפול על עץ בפעם השניה' הם בלתי תלויים. לעומת זאת, המאורעות 'התלמיד יצליח במבחן הראשון' ו'התלמיד יצליח במבחן השני' תלויים זה בזה, משום שתלמידים שהצליחו במבחן אחד נוטים להצליח גם בשני, יותר מתלמידים שנכשלו.

באופן דומה, שני משתנים מקריים $\ X$ ו- $\ Y$ הם בלתי תלויים אם ידיעת ערכו של $\ Y$ אינה משנה את ההתפלגות של $\ X$ : לכל ערך אפשרי של $\ Y$ , למשתנה המותנה $\ X|Y=a$ יש אותה התפלגות כמו ל- $\ X$ . אם שני משתנים הם בלתי תלויים, אז התוחלת של המכפלה שלהם שווה למכפלת התוחלות: $\ E(XY) =E(X)E(Y)$ . במקרה כזה אומרים שהמשתנים בלתי מתואמים. משתנים בלתי תלויים הם בלתי מתואמים, אבל ההיפך אינו נכון. מהשוויון עבור התוחלות נובע גם שעבור שני משתנים בלתי תלויים, השונויות מקיימות $\ V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ וגם $\ V(XY)=V(X)V(Y)$ .

למונח התלות בסטטיסטיקה אין קשר ישיר לתלות לינארית.

[עריכה] תלות משותפת

המושג 'תלות' יכול לחול גם על כמה משתנים בעת ובעונה אחת. אומרים שהמשתנים $\ X_1,\dots,X_n$ הם בלתי תלויים במשותף אם ידיעת הערכים של כל $\ n-1$ מהם אינה משפיעה על ההתפלגות של האחרון. בתורת האמידה מקובל להניח שהמשתנים שעלו במדגם הם בלתי תלויים במשותף.

מתכונה זו נובע שכל תת-קבוצה של המשתנים גם היא בלתי תלויה. לדוגמה, אם $\ X,Y,Z$ בלתי תלויים במשותף, אז כל אחד מן הזוגות $\ X,Z$ , $\ X,Y$ ו- $\ Y,Z$ הם בלתי תלויים. לעומת זאת, מן העובדה שהמשתנים בכל זוג בלתי תלויים, לא נובע שהשלושה בלתי תלויים במשותף. בפרט, מן העובדה ש- X ו- Y בלתי תלויים לא נובע שהמשתנים המותנים $\ X|Z$ ו- $\ Y|Z$ בלתי תלויים.

דוגמה: אם X ו- Y הם שני משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה חצי, ו- $\ Z=X+Y \pmod{2}$ . במקרה זה כל שני משתנים בלתי תלויים, אבל ידיעת הערכים של כל שניים מהם קובעת באופן חד משמעי את השלישי (ולכן השלשה אינה בלתי תלויה במשותף). כמו כן, המשתנים המותנים $\ X|Z$ ו- $\ Y|Z$ הם תלויים (שווים זה לזה כאשר $\ Z=0$ , והפוכים זה לזה אחרת).

אי-תלות במשותף היא תכונה חזקה באופן יחסי. אם שלושה משתנים X,Y,Z הם בלתי תלויים במשותף, אז גם שהמשתנים המותנים $\ X|Z$ ו- $\ Y|Z$ בלתי תלויים. ההיפך אינו נכון; יתרה מזו, הדוגמה הבאה מראה שאפילו אם המשתנים המותנים $\ X|Z$ ו- $\ Y|Z$ בלתי תלויים לכל ערך של Z, לא נובע מכאן ש- X,Y עצמם בלתי תלויים.

דוגמה. המשתנים $\ X,Y,Z$ מקבלים את הערכים 0 או 1. אם $\ Z=0$ אז $\ X$ ו- $\ Y$ משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה שליש, ואם $\ Z=1$ אז הם משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה חצי. עם זאת, המשתנים $\ X$ ו- $\ Y$ תלויים (ובלבד ש- $\ 0<P(Z=0)<1$ ).