כוח קוריוליס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

תנועת האויר סביב שקע ברומטרי מעל איסלנד בהשפעת כוח קוריוליס

כוח קוֹרִיוֹלִיס (הנקרא גם אפקט קוריוליס) מתבטא בכך שביחס למערכת מסתובבת גופים סוטים מהתנועה בקו ישר, גם כאשר לא פועלים עליהם כוחות חיצוניים. הכוח נקרא על שם המדען הצרפתי גספרד קוריוליס, שתאר אותו לראשונה ב-1835, אם כי עוד ב-1778 הוא הופיע בחישוביו של לפלס.

לרוב, כשאנו מדברים על תנועה, אנו מתכוונים לתנועה ביחס לכדור הארץ. היות שגם כדור הארץ הוא מערכת מסתובבת, יש להתחשב באפקט קוריוליס בניתוח תנועת גופים יחסית אליו, אך בדרך כלל השפעת האפקט זניחה. למשל, בניגוד לדעה הרווחת, כוח קוריוליס אינו קובע את כיוון ירידת המים בכיור. לעומת זאת, כוח קוריוליס משחק תפקיד חשוב במטאורלוגיה וחישובים ארטילריים. בהסתמך על אפקט קוריוליס, הוכיח פוקו בשנת 1851 כי כדור הארץ מסתובב סביב צירו. (ראה מטוטלת פוקו).

[עריכה] כוח קוריוליס הוא כוח מדומה

כוח קוריוליס הינו כוח מדומה, המופיע כיוון שמערכת ייחוס מסתובבת איננה אינרציאלית. כמו כוחות מדומים אחרים, הוא תלוי במערכת הייחוס. למעשה, במקום להתחשב בכוח קוריוליס בתנועה ביחס למערכת ייחוס מסתובבת, ניתן להשתמש במערכת לא מסתובבת ולתאר את התנועה ביחס אליה, מבלי להתחשב בכוחות מדומים. כיוון שזהו כוח מדומה, הוא אינו מתנהג לפי עקרון הפעולה והתגובה (החוק השלישי של ניוטון). כאשר עובדים במערכת מסתובבת חשוב לזכור כי ישנו כוח מדומה נוסף, הנקרא הכוח הצנטריפוגלי.

[עריכה] חישוב כוח קוריוליס

במקרה בו התנועה היא רק במישור הניצב לציר הסיבוב (כמו בקרוסלה, למשל), ניתן לחשב את כוח קוריוליס לפי שלושת הכללים הפשוטים הבאים:

1. כוח קוריוליס תמיד יהיה ניצב לכיוון המהירות (ובמישור הניצב לציר הסיבוב).

2. גודלו של הכוח נתון על-ידי $\ F_c = 2 m \omega v$ כאשר $\ \omega$ היא המהירות הזויתית, $\ v$ היא מהירות הגוף, ו $\ m$ היא מסתו.

3. הכוח יהיה תמיד ניצב לכיוון המהירות; אם המערכת מסתובבת בכיוון השעון, הכוח יהיה מכוון שמאלה, ואם המערכת מסתובבת נגד כיוון השעון, הכוח יהיה מכוון ימינה. הערה: כיוון הסיבוב וכיוון הכוח תלויים בבחירת הצד ממנו מסתכלים על מישור התנועה. אבל נוכל לבחור צד באופן שרירותי, כיוון שהמעבר לצד השני הופך גם את כיוון הסיבוב (עם\נגד כיוון השעון) וגם את כיוון הכוח ביחס למהירות (שמאל\ימין), כך שהכלל תקף משני הצדדים.

ניתן לתאר את הקשר בין וקטור המהירות של הגוף, $\ \vec v$ , וקטור המהירות הזויתית של המערכת $\ \vec \omega$ , וכוח קוריוליס באמצעות מכפלה וקטורית:

$\ \vec F_c = -2 m \vec \omega \times \vec v$

פרט לכך שהוא תמציתי יותר, לניסוח זה יתרון נוסף: הוא מתאר את כוח קוריוליס במקרה הכללי, שבו התנועה אינה מוגבלת למישור הניצב לציר הסיבוב של המערכת. מאידך, ניתן לחשב את כוח קוריוליס לפי שלושת השלבים דלעיל גם במקרה הכללי, אם פשוט מתעלמים מהרכיב של המהירות המקביל לציר הסיבוב.

[עריכה] הסבר אינטואטיבי לכוח קוריוליס

נניח שאנו עומדים על קרוסלה המסתובבת בקצב קבוע נגד כיוון השעון. על הקרוסלה מצויר קו ישר ממרכז הקרוסלה החוצה. אם נדמיין שאנו מנסים ללכת לאורך הקו, נגלה שעלינו להאיץ שמאלה על מנת להתאים את מהירותנו למהירות רצפת הקרוסלה (בין אם אנחנו הולכים לכיוון מרכז הקרוסלה או ממנו החוצה). כלומר נרגיש כאילו גופנו נמשך ימינה. משיכה זו היא כוח קוריוליס.

כיוון שהמהירות הזוויתית קבועה, כאשר המשקולות מתרחקות ממרכז הסיבוב המוטות מאיצים אותן נגד כיוון השעון, כך שמהירותן גדלה. כשהן מתקרבות למרכז הסיבוב המוטות מאיצים אותן עם כיוון השעון, כך שמהירותן קטנה. כך או כך, המוטות מפעילים עליהן כוח שכיוונו שמאלה מכיוון התנועה היחסית שלהן. במערכת ייחוס המסתובבת יחד עם המוטות, הכוח שהמוטות מפעילים בדיוק מאזן את כוח קוריוליס, הפועל ימינה מכיוון התנועה

במילים אחרות, נניח שאנו עומדים מחוץ לקרוסלה ומסתכלים על גוף שנע לאורך הקו הישר ששרטטנו, ביחס לקרוסלה. כפי שהסברנו כרגע, הגוף חייב להאיץ שמאלה (מנק' המבט שלנו, מבחוץ), ולכן חייב לפעול עליו כוח ממשי שמאלה (ר' תרשים). לעומת זאת, במערכת הייחוס של הקרוסלה, הגוף נמצא בשיווי משקל. נדמה שמופיע כוח המאזן את הכוח שמאלה. כוח מדומה זה, המכוון ימינה, הוא כוח קוריוליס.

נשים לב שהכוח ניצב למהירות, ופרופורציוני לה: ככל שנלך מהר יותר לאורך הקו, כך נצטרך להאיץ מהר יותר על מנת להתאים את עצמנו לרצפת הקרוסלה.

עד כה הסברנו מדוע כאשר מתקרבים או מתרחקים ממרכז הקרוסלה, חווים כוח. אך מדוע אנו מצפים לחוות כוח כאשר אנו נעים סביב המרכז, מבלי להתקרב או להתרחק ממנו? ובכן, נמחק את הישר שעל רצפת הקרוסלה, ונצייר במקומו מעגל. נדמיין שאנו הולכים לאורכו במהירות קבועה. מצב זה שקול למצב שבו היינו שרויים במנוחה במערכת אחרת, שמסתובבת מהר יותר, או לאט יותר, בהתאם לאם אנו הולכים נגד כיוון השעון או עם כיוון השעון (נזכור שהקרוסלה מסתובבת נגד כיוון השעון). כלומר נצפה שהכוח הצנטריפוגלי שנחווה יגדל, או יקטן, בהתאמה. במילים אחרות, אם נחזור למערכת המקורית של הקרוסלה (זו שביחס אליה אנו נמצאים בתנועה) נצטרך להוסיף תיקון לכוח הצנטריפוגלי: כוח נוסף, שתמיד יהיה מכוון כלפי ימין (בין אם אנחנו נעים עם כיוון השעון או נגדו) - כוח קוריוליס.

תוכלו להראות, שאף על פי שההסבר לכוח נראה שונה למדי למקרה שאנו נעים על קו ישר או לאורכו של המעגל, גודלו של הכוח זהה, ונתון על-ידי $2 m ω v$ .

עכשיו, אם נמחק גם את המעגל ונתקדם בכיוון כלשהו, נוכל לפרק את התנועה לרכיב "בכיוון המרכז" (רכיב רדיאלי) ולרכיב "על המעגל" (רכיב משיקי). כיוון שהיחס בין הכוח למהירות שווה בשני המקרים, וכיוון שהכוחות שחשבנו קודם היו ניצבים לרכיבי המהירות המתאימים ומכוונים כלפי ימין, נקבל שסכום הכוחות יהיה ניצב לסכום המהירויות, וכיוונו - ימינה. קיבלנו בדיוק את כוח קוריוליס המתואר בפסקה הקודמת.

[עריכה] פיתוח מתמטי

הפיתוח משתמש בקשר בין הנגזרת של וקטור במערכת אינרציאלית לנגזרתו במערכת מסתובבת. עבור כל וקטור $\ B$ מתקיים השיוויון

$\left(\frac{dB}{dt}\right)_{in} = \left(\frac{dB}{dt}\right)_{rot} + \omega \times \vec B$ .

כאשר $\left(\frac{dB}{dt}\right)_{in}$ הוא הנגזרת של $\ B$ במערכת האינרציאלית, ו $\left(\frac{dB}{dt}\right)_{rot}$ הוא הנגזרת של $\ B$ במערכת המסתובבת.

בפרט, עבור התאוצה והמהירות, מתקיים

$a_{in}=\left(\frac{dv_{in}}{dt}\right)_{in}=\left(\frac{dv_{in}}{dt}\right)_{rot} + \omega \times v_{in}$ ,

$\ v _{in}=\left(\frac{dr}{dt}\right)_{in}=\left(\frac{dr}{dt}\right)_{rot} + \omega \times r = v_{rot} + \omega \times r$

אם נציב את הביטוי למהירות בביטוי של התאוצה, נקבל:

$a_{in}= \left(\frac{d ( v_{rot}+\omega \times r)}{dt} \right)_{rot} +\omega \times v_{rot} + \omega \times (\omega \times r )$
(השתמשנו בדיסטריביוטיביות של מכפלה וקטורית).

בהנחה ש $\vec \omega$ קבוע (ולכן $\frac{d \omega}{dt}=0$ ) ניתן לפתוח את הנגזרת כך:

$a_{in}= \left(\frac{d ( v_{rot}+\omega \times r)}{dt} \right)_{rot} = \frac{d v_{rot}}{dt} + \frac{d \omega}{dt} \times r + \omega \times \frac{dr}{dt} =a_{rot} + \omega \times v_{rot}$

עתה נציב את הביטוי שקיבלנו, ונגיע ל:

$\ a_{in}= a_{rot} + 2 \omega \times v_{rot} + \omega \times (\omega \times r )$ .

כאשר $\ 2 \omega \times v_{rot}$ היא תאוצת קוריוליס, ו $\ \omega \times (\omega \times r )$ היא התאוצה הצנטריפטלית המוכרת (גודל ביטוי זה הוא $\ \omega ^2 r$ )