חציון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בסטטיסטיקה, החציון הוא מדד למיקום המרכז של קבוצת נתונים מספריים, מדגם, או משתנה מקרי. לחציון כמה תכונות משותפות עם הממוצע והתוחלת, אבל הוא אינו רגיש כלל לערכי קצה, והדבר מהווה יתרון בהצגות מסוימות של כמה נתונים (כגון רמות שכר). את החציון אפשר לחשב גם כאשר הנתונים אינם מספריים, כמו למשל כאשר מדרגים צבעים לפי בהירותם או שופטים לפי חומרת העונש שהם קוצבים. בהשוואה למדדים אחרים, קשה לנתח את החציון ככלי סטטיסטי, ולפיכך חשיבותו התאורטית נמוכה.

תוכן עניינים

1 הגדרות
- 1.1 חציון של משתנה מקרי
- 1.2 הגדרה כערך קיצון
2 דוגמאות

[עריכה] הגדרות

כמדד של קבוצת נתונים, יש לחציון כמה הגדרות מקובלות, שכולן מסכימות זו עם זו אם הקבוצה כוללת מספר אי-זוגי של נתונים. במקרה זה, החציון שווה לערך המופיע במקום האמצעי לאחר סידור הנתונים. אם בקבוצה מספר זוגי של נתונים מסודרים, $\ a_1,\dots,a_n,a_{n+1},\dots,a_{2n}$ , כל מספר שבין $\ a_n$ ו- $\ a_{n+1}$ עשוי להחשב כחציון, ולעתים קרובות בוחרים את הממוצע שבין שני ערכים אלה.

כאשר מדובר בנתונים מקובצים (למשל: כמה תלמידים קיבלו ציון עד 60, מ- 61 ל- 70, וכן הלאה), החציון שייך לקבוצה שפחות ממחצית הנתונים מעליה, ופחות ממחצית הנתונים מתחתיה, אם יש כזו. במקרה כזה מקובל למקם את החציון כאילו הנתונים בקבוצה שאליה הוא שייך היו מתפלגים באופן אחיד, וכך מחלק החציון את ההיסטוגרמה לשתי מחציות שוות-שטח. אם לא קיימת קבוצה כנזכר למעלה, אז קיימת נקודת חיתוך בין שתי קבוצות, החוצה את הנתונים לשתי קבוצות שוות, ואז מקובל לקבוע אותה כחציון.

הגדרת החציון חלה, באופן כללי יותר, בכל מקרה שבו הנתונים סדורים באופן מלא. במקרה זה, חציון תמיד קיים (לפחות אחד) אם לכל חתך של הטווח של המשתנה המקרי (דהיינו, חלוקת הטווח לשתי קבוצות הממצות אותו ואשר כל איבר באחת גדול מכל אחד מאברי השנייה) יש לפחות קבוצה אחת המרכיבה אותו שיש לה איבר הקטן ביותר ואיבר הגדול ביותר.

[עריכה] חציון של משתנה מקרי

בדומה לתוחלת, החציון מוגדר גם עבור משתנה מקרי ממשי X, בתור ערך $\ M(X)$ , המקיים:
גם $\ P[ X \le M(X)]\ge 0.5$ וגם $\ P[ X \ge M(X)]\ge 0.5$ . האופרטור M הוא הומוגני ושומר על הזזות (כלומר, $\ M(aX+b)=aM(X)+b$ ); יתרה מזו, $\ M(f(X))=f(M(X))$ לכל פונקציה מונוטונית ממשית $\ f$ . התוחלת של סכום משתנים מקריים שווה לסכום התוחלות, ובתנאים מסוימים טענה דומה נכונה גם עבור השונות. לעומת זאת, אין קשר ברור בין החציון של סכום משתנים לבין שני החציונים.

החציון של משתנה מקרי המקבל בהסתברות $\ 1/n$ את הערך $\ a_i$ (כאשר $\ i=1,\dots,n$ והערכים $\ a_i$ אינם בהכרח שונים), שווה לחציון של סדרת הערכים $\ a_1,\dots,a_n$ . מכיוון שכך, ניתן לראות בהגדרה לחציון של קבוצת ערכים, מקרה פרטי של ההגדרה למשתנים מקריים.

דוגמאות. החציון של התפלגות אחידה רציפה, הוא מרכז הקטע. החציון של התפלגות סימטרית, כגון ההתפלגות הנורמלית, שווה לתוחלת.

[עריכה] הגדרה כערך קיצון

את הממוצע x של קבוצת מספרים $\ a_1,\dots,a_n$ אפשר להגדיר כמספר (היחיד) שעבורו סכום הריבועים $\ (x-a_1)^2+\dots+(x-a_n)^2$ הוא הקטן ביותר. באופן דומה, מספר הממזער את סכום הערכים המוחלטים $\ |x-a_1|+\dots+|x-a_n|$ נקרא חציון של הקבוצה. על-פי הגדרה זו, ישנם לקבוצה בגודל זוגי אינסוף ערכי חציון אפשריים (בדרך כלל); מקורות אחדים בוחרים אחד מן הערכים האלה להיות החציון, כפי שהוצע לעיל בבחירת הממוצע של שני הערכים המרכזיים.

[עריכה] דוגמאות

1. במדגם 3,7,11,20,21, החציון הוא הערך האמצעי - 11.

2. בהיסטוגרמה המתארת 12 ערכים בטווח 70-80, 40 ערכים בטווח 80-90, ו- 8 ערכים בטווח 90-100, המדגם כולל 60 ערכים, שמהם שני האמצעיים, ולכן גם החציון, שייכים לקבוצה האמצעית. כדי לאתר את החציון ביתר דיוק, מחלקים את קצות הטווח 80-90 באופן יחסי למספרי הערכים החסרים: מחד, 30-12=18, ומאידך 30-8=22. החציון הוא, אם כך, $\ 80+\frac{18}{18+22}\cdot(90-80) = 84.5$ .