בעיית וייטהד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, בעיית וייטהד היא השאלה הבאה: האם כל חבורה אבלית A שעבורה מתקיים התנאי , היא חבורה אבלית חופשית? (הסימון מתייחס לפונקטור Ext). בעיה זו נחשבה לאחת הבעיות המרכזיות בתורת החבורות, עד שהתברר ב- 1971 שהיא בלתי כריעה במסגרת האקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות.

תנאי זה ניתן לניסוח חלופי באופן הבא: כל הרחבה , מתפצלת; וגם כך: לכל חבורה אבלית B ואפימורפיזם שהגרעין שלו הוא חבורה ציקלית אינסופית, קיים מונומורפיזם כך שההרכבה היא העתקת הזהות של A. אם A מקיימת תנאים אלו, היא נקראת חבורת וייטהד. בעיית וייטהד, אם כך, שואלת האם כל חבורת וייטהד היא חופשית.

את השאלה הציג ג'ון וייטהד בשנות החמישים, בהקשר לבעיית Cousin השניה. תשובה חיובית עבור חבורות בנות מניה ניתנה זמן קצר אחר-כך. ההתקדמות בקשר לחבורות גדולות יותר הייתה איטית, והבעיה נחשבה לאחת החשובות ביותר באלגברה.

ב1973 הראה שהרן שלח שהבעיה בלתי כריעה מן האקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות, אקסיומות ZFC. ביתר פירוט, הוא הוכיח ש:

• אם כל הקבוצות ניתנות לבניה, אז כל חבורת וייטהד היא חופשית;
• אם מניחים את אקסיומת מרטין ואת שלילתה של אקסיומת הבחירה, אז יש חבורות וייטהד לא חופשיות.

אם מניחים שאקסיומות ZF, יחד עם אקסיומת הבחירה, יוצרות מערכת עקבית, אז גם המערכת הכוללת את האקסיומה הנוספת, שכל הקבוצות ניתנות לבניה, היא עקבית. מצד שני, אקסיומת מרטין עקבית עם ההנחה שאקסיומת הבחירה אינה מתקיימת. יחד, שתי התוצאות מראות שבעיית וייטהד אינה ניתנת להכרעה.

תוצאה זו הייתה לחלוטין בלתי צפויה. קיומן של טענות בלתי כריעות היה ידוע מאז 1931, כאשר קורט גדל הוכיח את משפט אי השלמות שלו. עם זאת, דוגמאות לטענות כאלה, שהבולטת בהן היא השערת הרצף, היו בדרך כלל מוגבלות לתחומי תורת הקבוצות. הפעם הכתה אי-השלמות באחד המבצרים של המתמטיקה המודרנית, תורת החבורות.

ב1980 הראה שלח שגם אם מניחים את השערת הרצף, בעיית וייטהד נשארת בלתי כריעה. כמה וכמה תוצאות אחרות של אי-כריעות עבור בעיה זו המחישו באופן חד את התלות של התאוריה של החבורות האבליות שאינן בנות מניה, באקסיומות של תורת הקבוצות שמעליהן החבורות מוגדרות.