Neutraalialkio
Wikipedia
Joukon alkio on neutraalialkio eli identiteettialkio eli yksikköalkio jonkin joukossa määritellyn binaarioperaattorin suhteen, jos se yhdistettynä tähän operaattoriin jättää muut joukon alkiot ennalleen. Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on 1, sillä mikä tahansa kerrottuna yhdellä on luku itse.
Neutraalialkiosta voidaan myös käyttää nimeä identiteetti, jollei sekaantumisen vaaraa sanan identiteetti muihin merkityksiin ole.
Olkoon * joukossa S määritelty binäärioperaattori. Joukon S alkio e on vasemmanpuoleinen identiteetti operaattorin * suhteen, jos e * a = a kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin jos a * e = a kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e oikeanpuoleinen identiteetti operaattorin * suhteen. Jos alkio on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen identiteetti, kutsutaan sitä molemmanpuoleiseksi identiteetiksi tai yksinkertaisesti pelkäksi identiteeksi. Operaattoreilla, joilla on voimassa vaihdantalaki, ei voida erotella eripuoleisia identiteettejä.
[muokkaa] Esimerkkejä
| joukko | operaattori | identiteetti |
|---|---|---|
| reaaliluvut | yhteenlasku ( + ) | 0 |
| reaaliluvut | kertolasku ( · ) | 1 |
| n x n neliömatriisi | yhteenlasku ( + ) | nollamatriisi |
| n x n neliömatriisi | kertolasku ( · ) | yksikkömatriisi |
| kaikki funktiot joukosta M itseensä | yhdistetty funktio ( o ) | identiteettifunktio |
| merkkijonot | yhdistäminen | tyhjä merkkijono |
| vain kaksi alkiota {e, f} | * määritelty niin että e * e = f * e = e ja f * f = e * f = f |
e ja f ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista identiteettiä. |
Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.
