Phần tử đơn vị

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bài này nói về phần tử đơn vị trong toán học, xem thêm nghĩa khác ở phần tử đơn vị (định hướng).

Trong toán học, phần tử đơn vị (hay còn gọi là phần tử trung hòa) là một phần tử đặc biệt của một tập hợp khi nói đến phép toán hai ngôi trên tập hợp đó. Nó không làm thay đổi phần tử còn lại khi thực hiện phép toán với phần tử đó. Khái niệm này được dùng trong lý thuyết nhóm và magma (đại số).

Thuật ngữ phần tử đơn vị có thể được gọi ngắn gọn là đơn vị nếu không bị hiểu nhầm.

Cho (S, *) là một tập S cùng với phép toán hai ngôi * trên nó, phần tử e được gọi là

đơn vị trái nếu $\forall a \in S, e * a = a$
đơn vị phải nếu $\forall a \in S, a * e = a$
đơn vị hai phía (hoặc đơn giản là đơn vị), nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.

[sửa] Thí dụ

Tập hợp	Phép toán	đơn vị
số thực	+ (cộng)	0
số thực	• (nhân)	1
ma trận vuông n x n	+ (cộng)	ma trận không
ma trận vuông n x n	• (nhân)	ma trận đơn vị
Tất cả các hàm từ tập M lên chính nó	hàm hợp	ánh xạ đồng nhất
Các xâu kí tự	phép nối xâu	xâu rỗng
Tập có hai phần tử {e, f}	* định nghĩa bởi e * e = f * e = e và f * f = e * f = f	cả hai e và f là các đơn vị trái, nhưng không có đơn vị phải hay đơn vị hai phía

Như trong ví dụ dưới cùng, (S,*) có thể có nhiều hơn một đơn vị trái. Thực tế là phần tử nào cũng có thể là đơn vị trái. Tương tự, có thể có nhiều đơn vị phải. Nhưng nếu có một đơn vị trái và một đơn vị phải thì chúng bằng nhau và chỉ có đúng một đơn vị hai phía.

Cụ thể là: nếu l là một đơn vị trái và r là một đơn vị phải thì l = l * r = r. Vậy, không bao giờ có nhiều hơn một đơn vị hai phía.