Keplerren lege

Wikipedia(e)tik

Keplerren legeak Johannes Keplerek eguzkiaren inguruan planeten orbitak azaltzeko enuntziatu zituen. Tycho Brahe astronomo daniarrak egindako behaketak erabiliz atera zituen lege hauek.

Keplerren legeak Newtonen grabitazioaren legearen eta mugimendu legeen konsekuentzia bezala ikusi daitekeen arren, egiatan alderantziz izan zen. Keplerrek behaketen eredu matematiko bat eman zuen, gero Newtonek interpretatu zituenak kalkulua eta fisika erabiliz.

[aldatu] Lehenengo legea

Planetak orbita eliptikoetan higitzen dira Eguzkiaren inguruan, Eguzkia foku batean egonik.

[aldatu] Bigarren legea

Planetatik Eguzkira doan irudizko lerroak azalera berdina ekortzen du denbora-unitatean.

Perihelioan, eguzkira distantzia txikiagoa denez, abiadura handiagoa izan behar da azalera berdina ekortzeko, eta afelioan, distantzia handiagoa denez, abiadura txikiagoa izango da.

[aldatu] Hirugarren legea

Planetak orbita osatzeko behar duen periodoaren karratua, Eguzkirako batez besteko distantziaren kuboarekiko proportzionala da.

$T^2 \propto a^3$

non:

$T \;$ : planetaren orbita-periodoa
$a \;$ : Eguzkira distantzia

Honek bi planeten periodoak erlazionatzen ditu, eguzkira distantziaren arabera, biak proportzionalak direlako: T₁ eta T₂ planeten periodoak badira, eta a₁ eta a₂ ardatzerdi nagusiak, bien arteko erlazioa honako hau da:

$\left ( \frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left ( \frac{a_1}{a_2}\right)^3$

[aldatu] Newtonen legeekin lotura

Keplerrek, zuezkan datuekin, erlazioak aurkitu zituen, baina ez zekien zergatik ziren horrela. Mende erdi geroago, Newtonek aurkitu zuen azalpena, beraren legeen bidez.

[aldatu] Lehenengo legea

Newtonek esan zuenez, objetu batek beste bat erakartzen du bien arteko irudizko lerroan zehar, masari proportzionala eta distantziaren karratuari alderantziz proportzionala den indarrez. Azelerazioa, beraz, erradio-bektoreari paraleloa da:

$\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = f(r)\vec{u_r}.$ (1)

Koordenatu polarrak erabiliz, zinematikan abiadurak eta azelerazioak hurrengo itxura hartzen dute:

$\frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{r} \vec{u_r} + r \dot{\theta} \vec{u_\theta}$

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (\ddot{r} - r {\dot{\theta}}^2) \vec{u_r} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \vec{u_\theta}$

Azken ekuazio hau (1) ekuazioarekin berdinduz:

$\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 = f(r)$ (2)

$r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0$

Bigarren ekuazioa txukunduz,

$r \frac{d\dot{\theta}}{dt} + 2\frac{dr}{dt} \dot{\theta} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d\dot{\theta}}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}$

ekuazio diferentzial bat gelditzen zaigu. Ekuazio hau ebaztuz:

$\log \dot\theta = -2 \log r + \log h \quad\Rightarrow\quad \log h = \log r^2 + \log\dot\theta \quad\Rightarrow\quad h = r^2 \dot\theta = kte.$

$h\,$ konstantea aurkitzen dugu, integrazio konstantea baitzen. Konstante hau momentu angeluar espezifikoa da.

Orain aldagai aldaketa bat egingo dugu, r = 1/u, eta horren menpe azelerazioa kalkulatu:

$r = \frac {1}{u}$ (3)

$\dot r = \frac{dr}{du}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{u^2}\dot\theta\frac{du}{d\theta} = -h\frac{du}{d\theta}$

$\ddot r = -h \frac{d}{dt} \left ( \frac{du}{d\theta} \right ) = -h\dot\theta\frac{d^2 u}{d\theta^2} = -h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d\theta^2}$ (4)

Newtonen grabitazioaren legetik dakigunez, indar espezifikoa hurrengoa da:

$f \left ( \frac{1}{u} \right ) = f(r) = - \frac{GM}{r^2} = - GMu^2$ (5)

Ondorioz, (2) ekuazioan (3), (4) eta (5) sartuz, hurrengoa gelditzen da:

$-h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d\theta^2}\ -\ h^2 u^3 = f(r) \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2 u}{d\theta^2}\ +\ u = -\frac{1}{h^2 u^2} f \left ( \frac{1}{u} \right ) \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2 u}{d\theta^2}\ +\ u = \frac{GM}{h^2}$

Hau ekuazio diferentzial bat da, soluzio orokorra

$u = \frac{GM}{h^2} \bigg[ 1 + e\cos(\theta - \theta_0) \bigg]$

duena.

Azkenik, θ₀=0 hartuz, eta aldagai aldaketa deseginez, erradioaren formula daukago angeluaren menpe:

$r = \frac{1}{u} = \frac{h^2 / GM}{1 + e\cos\theta}$

Ekuazio hau konika batena da, e eszentrikotasuna eta jatorria foku batetan dituenak. Beraz, ikusten denez, lehenengo legea Newtonen mugimendu eta grabitazio legeetatik atera daiteke.

[aldatu] Bigarren legea

Definizioz, m masa eta v abiadura duen objetu baten momentu angeluarra, L,

$\vec{L} \equiv \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{r} \wedge (m\vec{v}) = \vec{r} \wedge m\frac{d\vec{r}}{dt}$ da.

Momentu angeluarra deribatuz:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = (\vec{r} \wedge m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}) + \left ( \frac{d\vec{r}}{dt} \wedge m\frac{d\vec{r}}{dt} \right ) = (\vec{r} \wedge \vec{F}) + (\vec{v} \wedge \vec{p}) = 0$ da,

indarra, lehen esan bezala, erradioari paraleloa delako, baita v abiadura eta p higidura-kantitatea (p = mv), eta bi bektore paraleloren arteko biderketa bektoriala 0 da. Beraz,

$|\vec{L}| = kte.$

Bere mugimenduan planeta batek ekortutako azalera r eta dr bektoreek osatzen duten paralelogramoaren erdia da, eta hortik azalera-abiadura atera dezakegu:

$dA = \frac{1}{2} |\vec{r} \wedge d\vec{r}| = \frac{1}{2} \left| \vec{r} \wedge \frac{d\vec{r}}{dt} dt \right| = \frac{|\vec{L}|}{2m} dt \Longrightarrow v_{az} = \frac{dA}{dt} = \frac{|\vec{L}|}{2m} = \frac{|\vec{h}|}{2}$

Ikusi denez, L konstantea da, baita m ere, beraz abiadura ere konstantea izango da.

[aldatu] Hirugarren legea

Momentu angeluar espezifikoak, h, honakoak betetzen ditu:

$\vec{h} = \vec{r} \wedge \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m} = kte.$

Orbita eliptiko baten, ardatzerdi nagusiari a deituaz eta txikiari b, erlazio hauek betetzen dituzte, orbitaren ekuaziotik ateratzen direnak:

$a = \frac{h^2}{GM(1-e^2)} \quad;\quad b = \frac{h^2}{GM\sqrt{1-e^2}} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{h}{\sqrt{GM}}\sqrt{a}$

Orain, T periodoa ateratzeko azalera-abiadura erabiliko dugu. Hau konstantea denez, periodoa azalera eta abiaduraren arteko zatiketa da:

$v_{az} = \frac{\pi a b}{T} = \frac{h}{2} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi a b}{h}$

b, a-ren menpe dagoenez,

$T = \frac{2\pi a b}{h} = \frac{2\pi}{h}a\frac{h}{\sqrt{GM}}\sqrt{a} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}a^{2 / 3}$

Azkenik, karratua eginez, 3. legea daukagu:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3$

Esan beharra dago ekuazio hau objetuaren masa eguzkiarenaren aldean mespretxagarria denean bakarrik balio duela. Masa hau ez bada mespretxagarria, hurrengo itxura hartzen du:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)} a^3$

[aldatu] Zehaztasuna eta mugak

Keplerren legeak, orbitatzen ari den objetuaren masa fokuan dagoen objetuaren masaren aldean mespretxagarria bada bakarrik dira zehatzak, eta bi objetu besterik ez direnean.

Newtonek lehenengo legea orokortu egin zuen, ihes-abiadura baino azkarrago mugitzen den objetu batek orbita irekia (parabolikoa edo hiperbolikoa) duela konturatu zenez. Orbitak ez dira, beraz, elipseak, baizik eta edozein konika. Bigarren legea baliogarria da orbita irekientzako, momentu angeluarra kontserbatzen delako, baina hirugarren legeak ez du zentzurik orbita ez delako periodikoa.

Keplerren legeek ez dute erlatibitatea kontuan hartzen, eta ondorioz ez dute ondo azaltzen Merkurioren prezesioa, adibidez. Izan ere, prezesio honen azalpena erlatibitatearen teoria orokorraren froga garrantzitsu bat izan zen haren hastapenetan.

"http://eu.wikipedia.org../../../k/e/p/Keplerren_lege.html"(e)tik eskuratuta

Kategoriak: Astronomia