Matrices de Pauli

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Las matrices de Pauli deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, y son una representación del grupo especial unitario SU(2). Tienen la siguiente forma:

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Cumplen las reglas de conmutación del grupo SU(2):

$\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\varepsilon_{ijk} \sigma_k$

donde $\varepsilon_{ijk}$ es el Símbolo de Levi-Civita.

Otras propiedades importantes son:

$\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

$\operatorname{det} (\sigma_i) = -1$

$\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0$

Las matrices de Pauli tienen gran utilidad en mecánica cuántica. La aplicación más conocida es la representación del operador de spin para una partícula de spin 1/2. Así se tiene

$\hat s_i\ = \frac{\hbar}{2}\sigma_i$

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