Grupo especial unitario

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En matemáticas, el grupo especial unitario de grado n es el grupo de matrices unitarias n por n con las entradas en el cuerpo C de los números complejos, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. Se escribe como SU(n). Es un subgrupo del grupo unitario U(n), a su vez un subgrupo del grupo general lineal Gl(n, C). De ahora en adelante, asumiremos n ≥ 2.

El grupo unitario especial SU(n) es un grupo de Lie real de dimensión n²-1. Es compacto, conexo, simplemente conexo, y (para n ≥ 2) simple y semisimple. Su centro es el grupo cíclico Z _n. Su grupo de automorfismos exteriores para n ≥ 3 es Z₂. El grupo de automorfismos exteriores de SU(2) es el grupo trivial.

El grupo SU(2) es isomorfo al grupo de cuaterniones de valor absoluto 1, y es así difeomorfo a la 3-esfera. Puesto que los cuaterniones unidad se pueden utilizar para representar rotaciones en el espacio de 3 dimensiones (salvo signo), tenemos un homomorfismo sobreyectivo de los grupos de Lie SU(2) → SO(3,R) cuyo núcleo es { + I, -I}.

El álgebra de Lie que corresponde a SU(n) se denota por $\mathfrak{su}(n)$ . Consiste en las matrices complejas n ×n antihermitianas de traza nula, con el conmutador como corchete de Lie. Obsérvese que esta es un álgebra de Lie real y no compleja.

[editar] Por ejemplo

Las matrices siguientes forman una base para $\mathfrak{su}(2)$ sobre R:

$i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$ ,

$i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ ,

$i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ ,

(donde i es la unidad imaginaria). Este factor se presenta porque los físicos gustan de incluir un factor i en sus álgebras de Lie reales, que es una convención diferente de la de los matemáticos). Esta representación se utiliza a menudo en mecánica cuántica (véase las matrices de Pauli), para representar el espín de partículas fundamentales tales como electrones. También sirven como vectores unidad para la descripción de nuestras 3 dimensiones espaciales en relatividad cuántica.

Obsérvese que el producto de cualesquiera dos diversos generadores es otro generador, y que los generadores anticommutan. Junto con la matriz identidad (multiplicada por i),

$iI_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$