Lógica matemática

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La lógica matemática es un campo de las matemáticas que estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica, en oposición a la lógica filosófica, y metamatemáticas. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.

La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Tabla de contenidos

1 Historia
2 Áreas
3 Lógica de predicados
- 3.1 Lenguajes y estructuras de primer orden
4 Véase también

[editar] Historia

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).

Algunos autores importantes han sido Gottlob Frege, Charles Peirce, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead (con Principia Mathematica), y el muy importante Kurt Gödel con su teorema de incompletitud.

[editar] Áreas

La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:

Filosófica y crítica
Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)
Teoría de modelos
Teoría de la computabilidad
Teoría de conjuntos
Teoría de la demostración y matemática constructiva
Lógica algebraica
Modelos no-estándar

En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.

[editar] Lógica de predicados

La lógica de predicados es un lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.

[editar] Lenguajes y estructuras de primer orden

Un lenguaje de primer orden' $\mathfrak{L}\,$ es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:

El símbolo de igualdad' $=\,$ ; las conectivas $\lor\,$ , $\lnot\,$ ; el cuantificador universal $\forall\,$ y el paréntesis $(\,$ , $)\,$ .
Un conjunto contable de símbolos de variable $\{v_i\}_{i = 0}^\infty\,$ .
Un conjunto de símbolos de constante $\{c_\alpha\}_{\alpha \in \Alpha}\,$ .
Un conjunto de símbolos de función $\{f_\beta\}_{\beta \in \Beta}\,$ .
Un conjunto de símbolos de relación $\{R_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\,$ .

Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.

Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.

Una $\mathfrak{L}\,$ -estructura sobre el lenguaje $\mathfrak{L}\,$ , es una tupla consistente en un conjunto no vacío $A\,$ , el universo del discurso, junto a:

Para cada símbolo constante $c\,$ de $\mathfrak{L}\,$ , tenemos un elemento $c^{\mathfrak{A}} \in A\,$ .
Para cada símbolo de function $n\,$ -aria $f\,$ de $\mathfrak{L}\,$ , una function $n\,$ -aria $f^{\mathfrak{A}} : A^n \longrightarrow A\,$ .
Para cada símbolo de relación $n\,$ -aria $R\,$ de $\mathfrak{L}\,$ , una relación $n\,$ -aria sobre $A\,$ , esto es, un subconjunto $R^{\mathfrak{A}} \subseteq A^n\,$ .