Intervalo (matemática)

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Los intervalos son los subconjuntos conexos de R. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la propiedad siguiente:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. (P)

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos, abiertos y cerrados) o según su características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).

Se usan habitualmente dos notaciones: [a; b) o [a; b[ para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientrás que b no.

También existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y (1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo enmedio.

Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

[a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.
[a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto), de longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.
]a, b] o (a, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a. a < x ≤ b.
]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x < b.
] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b.
] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤ b.
[a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.
] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.
] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a la vez abierto y cerrado, de longitud infinita. x pertenece a R.
{a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. (corresponde al caso a = b). x = a
{} = ∅ el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.

Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:

Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B(c,r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.

De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:

B(c,r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B(c,r) = { x ε R, |x - c| < r }.

Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varian su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunto permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.

Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].

Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - d. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - d ].

Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.

Un entorno o vecindad de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor de δ. O sea:

$E (a ; \delta) = \left\{x \in \real / |x - a| < \delta \right\}$