Vikipedio:Projekto matematiko/Eŭklida grupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Eŭklida grupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la Eŭklida grupo E(n), iam (nomita, vokis) ISO(n) aŭ simila, estas la geometria simetria grupo de n-dimensia Eŭklida spaco. Ĝiaj eroj, la (izometrioj, izometrias) asociita kun la Eŭklida metriko, estas (nomita, vokis) Eŭklida movas.

E⁺(n) estas la subgrupo de direkto (izometrioj, izometrias), kio estas, (izometrioj, izometrias) konfitanta orientiĝo, ankaŭ (nomita, vokis) rigidaj moviĝoj; ili estas la solido movas.

La alia estas la malrekta (izometrioj, izometrias).

La nombro de (gradoj, gradas) de libereco por E(n) kaj E⁺(n) estas triangula nombro n(n + 1)/2 kiu donas 3 en la okazo se n = 2, kaj 6 por n = 3.

Ĉi tiuj (grupoj, grupas) estas inter la plej malnova kaj plej studis, almenaŭ en la (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) de dimensio 2 kaj 3 — implice, longa antaŭ la koncepto de grupo estis sciata.

Enhavo 1 Subgrupa strukturo, matrico kaj vektora prezento 2 (Subgrupoj, Subgrupas) 3 Rilato al la afina grupo 4 Solidaj moviĝoj 5 Ĝenerala priskribo de (izometrioj, izometrias) en supren al tri (dimensioj, dimensias) 6 Komutebla (izometrioj, izometrias) 7 _Conjugacy_ klasoj 8 Vidi ankaŭ

[redaktu] Subgrupa strukturo, matrico kaj vektora prezento

La Eŭklida grupo estas subgrupo de la grupo de afinaj transformoj.

Ĝi havas kiel (subgrupoj, subgrupas) la traduka grupo T, kaj la perpendikulara grupo O(n). (Ĉiu, Iu) ero de E(n) estas traduko sekvis per perpendikulara transformo (la lineara parto de la izometrio), en unika vojo:

kie A estas perpendikulara matrico

aŭ perpendikulara transformo sekvis per traduko:

.

T estas normala subgrupo de E(n): por (ĉiu, iu) traduko t kaj (ĉiu, iu) izometrio u, ni havi

u⁻¹_tu_

denove traduko (unu povas diri, tra delokiga tio estas u agante sur la delokigo de t; traduko ne afekti delokigo, (do, tiel) ekvivalente, la delokigo estas la rezulto de la lineara parto de la izometrio agante sur t).

Kune, ĉi tiuj (faktoj, faktas) enhavi (tiu, ke, kiu) E(n) estas la duonrekta (produkto, produto) de O(n) etendis per T. En alia (vortoj, vortas) O(n) estas (en la natura vojo) ankaŭ la kvocienta grupo de E(n) per T:

O(n) E(n) / T

Nun So(n), la speciala perpendikulara grupo, estas subgrupo de O(n), de indekso du. Pro tio E(n) havas subgrupo E⁺(n), ankaŭ de indekso du, konsistanta de direkto (izometrioj, izometrias). En ĉi tiuj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) la determinanto de A estas 1.

Ili estas (prezentita, prezentis) kiel traduko sekvis per turnado, iom ol traduko sekvis per ia reflekto (en (dimensioj, dimensias) 2 kaj 3, ĉi tiuj estas la familiara (reflektoj, reflektas) en spegula linio aŭ ebeno, kiu (majo, povas) esti prenita al inkluzivi la fonto, aŭ en 3D, _rotoreflection_).

Ni havi:

So(n) E⁺(n) / T

[redaktu] (Subgrupoj, Subgrupas)

(Klavas, Tipoj) de (subgrupoj, subgrupas) de E(n):

• Finiaj grupoj. Ili ĉiam havi fiksa punkto. En 3D, por ĉiu punkto estas por ĉiu orientiĝo du kiu estas maksimuma (kun respekto al inkluziveco) inter la finiaj grupoj: O_h kaj Mi_h. La (grupoj, grupas) Mi_h estas (eĉ, ebena, para) maksimuma inter la (grupoj, grupas) inkluzivanta la venonta kategorio.
• Kalkuleble malfinio (grupoj, grupas) sen arbitre malgranda (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias), (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas), aŭ (kombinaĵoj, kombinaĵas), kio estas, por ĉiu punkto la aro de bildoj sub la (izometrioj, izometrias) estas topologie diskreta. E.g. por 1 ≤ m ≤ n grupo generita per m (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) en sendependa (direktoj, instrukcio), kaj eble finia punkta grupo. Ĉi tiu inkluzivas (kradoj, kradas, latisoj, latisas). (Ekzemploj, Ekzemplas) pli ĝenerala ol tiuj estas la diskreta spaco (grupoj, grupas).
• Kalkuleble malfinio (grupoj, grupas) kun arbitre malgranda (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias), (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas), aŭ (kombinaĵoj, kombinaĵas). En ĉi tiu (kesto, okazo) estas punktoj por kiu la aro de bildoj sub la (izometrioj, izometrias) estas ne (fermita, fermis). (Ekzemploj, Ekzemplas) de tia (grupoj, grupas) estas, en 1D, la grupo generita per traduko de 1 kaj unu de √2, kaj, en 2D, la grupo generita per turnado pri la fonto per 1 radiano.
• Ne-numerebla (grupoj, grupas), kie estas punktoj por kiu la aro de bildoj sub la (izometrioj, izometrias) estas ne (fermita, fermis). E.g. en 2D ĉiuj (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) en unu direkto, kaj ĉiuj (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) per (racionala, racionalo) (distancoj, distancas) en alia direkto.
• Ne-numerebla (grupoj, grupas), kie por ĉiuj punktoj la aro de bildoj sub la (izometrioj, izometrias) estas (fermita, fermis). E.g.
  • ĉiu direkto (izometrioj, izometrias) (tiu, ke, kiu) konservi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita), aŭ pli ĝenerale, iu punkto (en 3D (nomita, vokis) la rotacia grupo)
  • ĉiuj (izometrioj, izometrias) (tiu, ke, kiu) konservi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita), aŭ pli ĝenerale, iu punkto (la perpendikulara grupo)
  • ĉiu direkto (izometrioj, izometrias) E⁺(n)
  • la tuta Eŭklida grupo E(n)
  • unu de ĉi tiuj (grupoj, grupas) en m-dimensia subspaco kombinita kun diskreta grupo de (izometrioj, izometrias) en la perpendikulara n-m-dimensia spaco
  • unu de ĉi tiuj (grupoj, grupas) en m-dimensia subspaco kombinita kun alia unu en la perpendikulara n-m-dimensia spaco

(Ekzemploj, Ekzemplas) en 3D de (kombinaĵoj, kombinaĵas):

• ĉiuj (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri unu (fiksita, neŝanĝebligita) akso
• _ditto_ kombinita kun reflekto en (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) tra la akso kaj/aŭ ebeno (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la akso
• _ditto_ kombinita kun diskreta traduko laŭ la akso aŭ kun ĉiuj (izometrioj, izometrias) laŭ la akso
• diskreta punkta grupo, frisa grupo, aŭ papertapeta grupo en ebeno, kombinita kun (ĉiu, iu) geometria simetria grupo en la (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) direkto
• ĉiuj (izometrioj, izometrias) kiu estas kombinaĵo de turnado pri iu akso kaj proporcia traduko laŭ la akso; en ĝenerala ĉi tiu estas kombinita kun kOblo turna (izometrioj, izometrias) pri la sama akso (k ≥ 1); la aro de bildoj de punkto sub la (izometrioj, izometrias) estas kObla helico; aldone tie (majo, povas) esti 2Obla turnado pri (orte, perpendikulare) sekcanta akso, kaj de ĉi tie kObla helico de tia (hakiloj, hakas).
• por (ĉiu, iu) punkta grupo: la grupo de ĉiuj (izometrioj, izometrias) kiu estas kombinaĵo de izometrio en la punkta grupo kaj traduko; ekzemple, ĉe la grupo generita per inversigo en la fonto: la grupo de ĉiuj (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) kaj inversigo totale punktoj; ĉi tiu estas la ĝeneraligis _dihedral_ grupo de R³, _Dih_(R³).

[redaktu] Rilato al la afina grupo

La Eŭklida grupo E(n) estas subgrupo de la afina grupo por n (dimensioj, dimensias), kaj en tia vojo rilate respekto la duonrekta (produkto, produto) strukturo de ambaŭ (grupoj, grupas). Anstataŭ per paro (A, b), Eŭklidaj grupaj eroj povas ankaŭ esti (prezentita, prezentis) kiel kvadrataj matricoj de amplekso n + 1, kiel eksplikis por la afina grupo.

En la (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la _Erlangen_ programo, Eŭklida geometrio estas pro tia fako de afina geometrio. Ĉiuj afina (teoremoj, teoremas) apliki; la superflua faktoro estas la nocio de distanco, de kiu angulo povas esti (deduktita, konkludita).

[redaktu] Solidaj moviĝoj

Alia uzi de Eŭklida grupo estas por la kinematiko de solido, en klasika mekaniko. solida moviĝo estas en efiki la sama kiel kurbo en E⁺(3).

La Eŭklidaj grupoj estas (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas), tiel ke kalkulo (komprenaĵoj, nocioj, nocias) povas esti adaptita (tuj, senpere) de ĉi tiu opcio.

[redaktu] Ĝenerala priskribo de (izometrioj, izometrias) en supren al tri (dimensioj, dimensias)

E(1), E(2), kaj E(3) povas esti _categorized_ kiel sekvas, kun (gradoj, gradas) de libereco:

E(1) - 1:

• E⁺(1):
  • idento - 0
  • traduko - 1
• tiuj ne konfitanta orientiĝo:
  • reflekto en punkto - 1

E(2) - 3:

• E⁺(2):
  • idento - 0
  • traduko - 2
  • turnado pri punkto - 3
• tiuj ne konfitanta orientiĝo:
  • reflekto en linio - 2
  • reflekto en linio kombinita kun traduko laŭ (tiu, ke, kiu) linio (glita reflekto) - 3

Vidi ankaŭ Eŭklida ebena izometrio.

E(3) - 6:

• E⁺(3):
  • idento - 0
  • traduko - 3
  • turnado pri akso - 5
  • turnado pri akso kombinita kun traduko laŭ (tiu, ke, kiu) akso (ŝraŭba operacio) - 6
• tiuj ne konfitanta orientiĝo:
  • reflekto en ebeno - 3
  • reflekto en ebeno kombinita kun traduko en (tiu, ke, kiu) ebeno (gliti ebena operacio) - 5
  • turnado pri akso per angulo ne egala al 180°, kombinita kun reflekto en ebeno (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al (tiu, ke, kiu) akso (_roto_-reflekto) - 6
  • inversigo kun respekto al punkto - 3

Vidi ankaŭ 3D (izometrioj, izometrias) kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita), spaca grupo, involucio.

[redaktu] Komutebla (izometrioj, izometrias)

Por iu izometrio (paroj, paras) komponaĵo ne dependi sur (mendi, ordo):

• du (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias)
• du (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) aŭ (ŝraŭboj, ŝraŭbas) pri la sama akso
• reflekto kun respekto al ebeno, kaj traduko en (tiu, ke, kiu) ebeno, turnado pri akso (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la ebeno, aŭ reflekto kun respekto al (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) ebeno
• glita reflekto kun respekto al ebeno, kaj traduko en (tiu, ke, kiu) ebeno
• inversigo en punkto kaj (ĉiu, iu) izometrio konservanta la punkto (fiksis, neŝanĝebligita)
• turnado per 180° pri akso kaj reflekto en ebeno tra (tiu, ke, kiu) akso
• turnado per 180° pri akso kaj turnado per 180° pri (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) akso (rezultoj en turnado per 180° pri la akso (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al ambaŭ)
• du _rotoreflections_ pri la sama akso, kun respekto al la sama ebeno
• du glitaj reflektoj kun respekto al la sama ebeno

[redaktu] _Conjugacy_ klasoj

La (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) per donita distanco en (ĉiu, iu) direkto (formo, formi) _conjugacy_ klaso; la traduka grupo estas la unio de tiuj por ĉiuj (distancoj, distancas).

En 1D, ĉiuj (reflektoj, reflektas) estas en la sama klaso.

En 2D, (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) per la sama angulo en ĉu direkto estas en la sama klaso. Glitaj reflektoj kun traduko per la sama distanco estas en la sama klaso.

En 3D:

• (Renversaĵoj, Renversaĵas, Inversigoj, Inversigas) kun respekto al ĉiuj punktoj estas en la sama klaso.
• (Rotacioj, Rotacias, Turnadoj, Turnadas) per la sama angulo estas en la sama klaso.
• (Rotacioj, Rotacias, Turnadoj, Turnadas) pri akso kombinita kun traduko laŭ (tiu, ke, kiu) akso estas en la sama klaso se la angulo estas la sama kaj la traduka distanco estas la sama, kaj en (korespondanta, respektiva) direkto (dekstra aŭ _lefthand_ ŝraŭbo).
• (Reflektoj, Reflektas) en ebeno estas en la sama klaso
• (Reflektoj, Reflektas) en ebeno kombinita kun traduko en (tiu, ke, kiu) ebeno per la sama distanco estas en la sama klaso.
• (Rotacioj, Rotacias, Turnadoj, Turnadas) pri akso per la sama angulo ne egala al 180°, kombinita kun reflekto en ebeno (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al (tiu, ke, kiu) akso, estas en la sama klaso.

[redaktu] Vidi ankaŭ

• fiksaj punktoj de izometriaj grupoj en Eŭklida spaco
• Eŭklida ebena izometrio