Grup (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Un grup este o noţiune matematică din cadrul algebrei.

[modifică] Definiţie

Un cuplu , format dintr-o mulţime nevidă G şi o lege de compoziţie internă "" pe G, este grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

1. Axioma asociativităţii

   Oricare ar fi x,y,z din G,

2. Axioma elementului neutru

   Există un element e în G, astfel încât , oricare ar fi x din G

3. Axioma elementelor simetrice

   Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că

   Dacă este satisfăcută şi axioma

4. Axioma comutativităţii

   Oricare ar fi x,y din G, xoy = yox

   atunci grupul se numeşte grup comutativ sau abelian.

[modifică] Exemple

• Mulţimea numerelor întregi, împreună cu operaţia de adunare, reprezintă un grup abelian infinit.
• Mulţimea permutărilor de n elemente, împreună cu compunerea, reprezintă un grup necomutativ finit.
• Mulţimea matricelor inversabile peste , împreună cu înmulţirea matriceală, reprezintă un grup necomutativ infinit.