Korelasyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Olasılık teorisi ve istatistikte korelasyon, iki bağımsız değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünün ve kuvvetini belirtir. Genel istatistiksel kullanımda korelasyon, bağımsızlık durumundan ne kadar uzaklaşıldığını gösterir.

Farklı durumlar için farklı korelasyon katsayıları geliştirilmiştir. Bunlardan en iyi bilineni Pearson moment çarpım korealsyon katsayısıdır. İki değişkenin kovaryansının, yine bu değişkenlerin standart sapmalarının çarpımına bölünmesiyle elde edilir. Pearson ismiyle bilinmesine rağmen ilk olarak Francis Galton tarafından bulunmuştur.

[değiştir] Pearson moment çarpım korelasyon katsayısı

[değiştir] Matematiksel Özellikleri

Beklenen değerleri μ_X ve μ_Y, standart sapmaları σ_X ve σ_Y olan iki bağımsız değişken X ve Y arasındaki korelasyon katsayısı (ρ_{X, Y}), şu şekilde tanımlanır:

$\rho_{X,Y}={\mathrm{Cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y},$

E değişkenin beklenen değerini, cov ise kovaryansı ifade eder,

μ_X = E(X) olduğundan, σ_X² = E(X²) − E²(X) ve

Y, için de aynısı geçerli olduğundan, şu ifadeyi yazabiliriz:

$\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}$

Korelasyon, yalnızca standart hataların ikisi de sonlu ve sıfırdan farklı ise tanımlıdır. Korelasyon katsayısının 1'i (mutlak değer olarak) geçemeyeceği ise Cauchy-Schwarz eşitliğinin doğal bir sonucudur.

Tam bir artan doğrusal ilişkinin varlığı halinde korelasyon katsayısı 1 değerini alır, tam bir azalan ilişkinin varlığı halinde ise korelasyon katsayısı -1 değerini alır. Katsayının alabileceği diğer tüm değerler ise ilişkinin doğrusallığına bağlı olarak bu iki değer arasında olacaktır. Katsayı 1'e veya -1'e ne kadar yakınsa ilişkinin doğrusallığı o kadar güçlüdür.

Değişkenler istatistiksel olarak bağımsız ise korelasyon 0'dır fakat bunun tersi doğru değildir, çünkü korelasyon katsayısı yalnızca doğrusal olan ilişkiyi belirler.

Bir örnek: TesadüfiX değişkeninin −1 ve 1 aralığında tekdüze dağıldığını varsayalım ve Y = X² ilişkisi geçerli olsun. Bu durumda Y tamamen X tarafından belirlenmiştir, öyle ki X ve Y birbirlerine bağımlıdır, fakat Pearson anlamdaki korelasyon 0 olacaktır. Ne var ki, X ve Y'nin birlikte normal dağıldığı durumda, istatistiksel bağımsızlık aynı zamanda korelasyonun da olmaması anlamına gelir.