Zlata spirala

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Zlata spirala je ravninska krivulja, ki jo v polarnem koordinatnem sistemu (r, θ) opišemo z enačbo:

$r = f(\theta ) = \phi ^{{\theta \over \pi }}\qquad(1)\; ,$

kjer sta Φ število zlatega reza (zlato razmerje) in π Ludolfovo število.

Konstrukcijo zlate spirale približno izvedemo v zlatem pravokotniku s pomočjo četrtinskih lokov včrtanih krožnic v posamezna polja zlatega pravokotnika. Razdelitev zlatega pravokotnika na takšna polja prikazuje Slika 1:

Slika 1: Zlatorezna polja v zlatem pravokotniku

Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic znotraj zlatoreznih polj kaže Slika 2:

Slika 2:Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic

Polmeri lokov predstavljajo padajoče geometrijsko zaporedje s količnikom, enakim obratni vrednosti zlatega razmerja

$\varphi = {1 \over \phi } = {{\sqrt 5 - 1} \over 2}\qquad(2) ,$

oblike

$r_n = r_1 \varphi ^{n - 1}\qquad(3).$

Zlata spirala spada v družino logaritemskih spiral (predlog za ime logaritemska spirala je podal francoski matematik Pierre Varignon (1645-1722)). Pomembna lastnost logaritemskih spiral je, da kot, ki ga tangenta na spiralo v poljubni točki oklepa z radijvektorjem, ostaja konstanten. Tako lahko logaritemske spirale imenujemo tudi enakokotne spirale (Slika 3).

Slika 3: Enakokotna spirala

Poleg Enačbe 1 je za zlato spiralo izpeljanih še več enačb, med njimi je zelo uporabna Sharpova:

$r = \left( {1 + 2k\sin \left( {{{4\phi } \over 3}} \right)} \right)ae^{k\theta }\qquad(4) ,$

kjer je

$k = {{2\ln \phi } \over {3\pi }}\qquad(5).$

Slika 4: Zlata spirala

Točka, ki predstavlja začetek zlate spirale (bolje rečeno njeno stekališče), ima koordinati

$S\left( {{{1 + 3\phi } \over 5}e,{{3 - \phi } \over 5}e} \right)\qquad(6) ,$

kjer je e poljubno izbrana enota za višino zlati spirali očrtanega zlatega pravokotnika.

Poleg omenjene konstrukcije zlate spirale znotraj zlatega pravokotnika poznamo še druge, alternativne konstrukcije zlate spirale, denimo v zlatem trikotniku, zlatem petkotniku in podobne. Obstaja še konstrukcija velike zlate spirale s pomočjo tričetrtinskih krožnih lokov na zlatem pravokotniku. To prikazuje Slika 5.