Schrödingerova rovnica
Z Wikipédie
Schrödingerova rovnica je základná diferenciálna rovnica, ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému vo formalizme vlnovej mechaniky.Sformuloval ju v roku 1925 Erwin Schrödinger. Jej zjednodušené odvodenie:
Postupnej vlne šíriacej sa v smere x a určenej veličinami zo vzťahov pre de Broglieove vlny zodpovedá vlnová funkcia
ψ(x,t) = ei(kx − ωt),
kde uhlová frekvencia ω je definovaná vzťahom
ω = 2πν
a vlnové číslo k je definované ako
.
Pretože platí
a
,
sú energie a hybnosť spojené s touto vlnou vlastnými stavmi diferenciálnych operátorov a
. Tieto operátory zodpovedajú energii a hybnosti vo všeobecnom kvantovo mechanickom zmysle, takže môžeme stotožniť operátory E s
a px s
, alebo môžeme posledný vzťah zovšeobecniť na trojrozmerný priestor a zapíšeme vektorovo:
,
kde (nabla) je operátor vektorového gradientu
.
Klasická energia je súčtom kinetickej a potenciálnej energie. Pre časticu s hmotnosťou m, pohybujúcu sa v potenciáli V je daná ako
.
Ak tento vzťah vyjadríme pomocou kvantovo mechanických operátorov a necháme pôsobiť diferenciálne operátory na vlnovú funkciu , dostaneme konečný tvar Schrödingerovej rovnice:
.
Operátor v hranatej zátvorke sa nazýva Hamiltonián.