Mohutnosť (množina)

Z Wikipédie

Mohutnosť alebo kardinalita je zovšeobecnením pojmu počet prvkov množiny.

Symbol, ktorým sa označuje mohutnosť množiny sa zvykne nazývať kardinálne číslo. Pre konečné množiny je to prirodzené číslo rovné počtu prvkov množiny.

Mohutnosť sa používa na porovnávanie "veľkosti" množín. Dve množiny sú rovnako mohutné, ak medzi nimi existuje bijekcia.

Poznámka: Vo filozofii sa hovorí o definícii abstrakciou: "Mohutnosť" je to, čo je spoločné množinám rovnakej mohutnosti. (Lev Bukovský)

Obsah 1 Platí 2 Aritmetické operácie nad mohutnosťami množín 2.1 Sčítanie 2.2 Súčin 2.3 Umocňovanie 3 Paradoxy

[úprava] Platí

• Dve množiny A, B majú rovnakú mohutnosť (sú rovnako mohutné), ak sa dá zostrojiť bijektívne zobrazenie množiny A na množinu B. Píšeme |A|=|B|
• Množina A má mohutnosť menšiu alebo rovnakú ako množina B, ak existuje prosté zobrazenie f množiny A do množiny B. Píšeme |A|<=|B|.
• Množina A má mohutnosť menšiu ako B, ak |A|<=|B| a neplatí |A|=|B|.
• Pre konečné množiny je mohutnosť prirodzené číslo rovné počtu prvkov množiny.
• Množina A je konečná, ak |A|<|N|. Prirodzené čísla sú mohutnosti konečných množín.
• Množina A sa nazýva spočítateľná množina, ak |A|<=|N|. Množina, ktorá nie je spočítateľná sa nazýva nespočítateľná množina.
• Mohutnosť množiny prirodzených čísel označujeme znakom (alef).
• Množiny Z a Q sú spočítateľné množiny.
• Zjednotenie spočítateľného množstva spočítateľných množín je spočítateľná množina.
• Množina R je nespočítateľná množina. Mohutnosť |R| sa označuje c a nazýva sa mohutnosť kontinua.
• 

[úprava] Aritmetické operácie nad mohutnosťami množín

[úprava] Sčítanie

Mohutnosť množiny C je súčet mohutností množín A, B, ak existujú také podmnožiny A₁, B₁ množiny C, pre ktoré platí:
A₁ ∩ B₁= 0, A₁ U B₁=C a |A₁|=|A|, |B₁|=|B|. Označujeme |C|=|A|+|B|

[úprava] Súčin

Mohutnosť množiny C je súčin mohutností množín A, B ak platí |C|=|A x B| a píšeme |C|=|A|.|B|

[úprava] Umocňovanie

Mohutnosť množiny C je mohutnosť množiny A umocnená na mohutnosť množiny B, ak |C|=|^BA|

[úprava] Paradoxy

• + =
• Priamka je rovnako mohutná, ako rovina.
• Úsečka je rovnako mohutná, ako priamka.