Kmitanie

Z Wikipédie

Kmitanie alebo oscilácia je pohyb fyzikálnej sústavy (napr. hmotného bodu), pri ktorom sa systém po vychýlení vždy vráti do rovnovážnej polohy. Jedna zmena v rámci kmitania sa nazýva aj kmit. Kmit je napríklad pohyb, ktorý vykoná periodicky kmitajúci hmotný bod za jednu periódu, napr. medzi dvoma po sebe nasledujúcimi maximálnymi výchylkami na tú istú stranu

Typickým príkladom kmitania je kyvadlo, ktorého výchylka (meraná napríklad v stupňoch) sa periodicky mení. Kmitajúce sústavy sa vyznačujú frekvenciou, ktorou ich kmity prebiehajú.

[úprava] Jednoduché sústavy

Najjednoduchším systémom vykazujúcim kmity je závažie zavesené na pružine v gravitačnom poli. V rovnováhe je tiaž telesa kompenzovaná napätím v pružine. Ak závažie z tejto rovnovážnej polohy vychýlime, výslednica síl naň pôsobiacich je nenulová a navracia teleso späť do rovnovážnej polohy. Pri opätovnom dosiahnutí rovnovážnej polohy má však závažie nenulovú hybnosť, nasleduje preto výchylka na opačnú stranu a pohyb pokračuje. Výsledkom sú kmity okolo rovnovážnej polohy, ktoré bez pôsobenia trenia (odporu vzduchu, prípadne strát pri deformáciách pružiny) pokračujú bez obmedzenia. Čas, ktorý uplynie medzi dvoma návratmi závažia do krajnej polohy sa nazýva perióda kmitov a väčšinou sa označuje T.

Uvedený rozbor kmitov jednoduchej sústavy sa dá zovšeobecniť. Získame tak popis sústavy konajúcej kmitavý pohyb.

Sústava má svoju rovnovážnu polohu. Pri vychýlení z nej potom koná kmitavý pohyb.
Existuje nejaká sila, ktorá sústavau prinavracia do rovnovážnej polohy.
Kinetická energia pohybu sa mení na potenciálnu energiu (v uvedenom príklade ide o potenciálnu energiu natiahnutej pružiny).

[úprava] Základné vzťahy

Pohyb závažia na pružine bez trenia nazývame harmonický pohyb. Jeho výchylka $x (t)$ sa s časom mení podľa vzťahu

$x(t)=x_0\sin(\omega t+\varphi),$

pričom parameter $x 0$ sa nazýva amplitúda pohybu (najväčšia dosahovaná výchylka), $ω$ je kruhová frekvencia kmitov daná vzťahom

$\omega=\frac{2\pi}{T}.$

Tu $T$ je perióda skúmaných kmitov, veličina $f = 1 / T$ sa nazýva frekvencia kmitov. Parameter $\varphi$ sa nazýva fáza kmitania a vyjadruje to, akou fázou kmitov prechádza teleso v čase $t = 0$ (či je vtedy v rovnovážnej polohe, dosahuje najväčšiu výchylku a podobne).

Pri harmonických kmitoch je sila F navracajúca teleso do rovnovážnej polohy priamo úmerná veľkosti výchylky x, platí teda

$F=-kx_{}^{}.$

Znamienko mínus označuje to, že sila pôsobí proti výchylke. V horeuvedenom prípade telesa na pružine je táto konštanta k rovná tuhosti pružiny.

Ak označíme hmotnosť závažia m, potom pre periódu a kruhovú frekvenciu platia platia vzťahy

$T=2\pi\sqrt{m/k},\quad \omega=\sqrt{k/m}.$

Celková energia kmitavého pohybu je v každom okamihu daná súčtom kinetickej energie telesa a potenciálnej energie. Ak zanedbaváme odpor prostredia, táto celková energia sa v čase nemení, zachováva sa. Ak je sila vracajúca teleso do rovnováhy daná vzťahom $F = - k x$ , ide o harmonické kmity a potenciálna energia je daná vzťahom

$E_{POT}=\frac12 kx^2.$

Celková energia kmitania je potom

$E=\frac12 mv^2+\frac12 kx^2.$

[úprava] Tlmené kmity

Tlmené kmity elektrického prúdu v obvode.

Predpoklad o neexistencii odporu prostredia je v praxi neuskutočniteľný. V reálnom svete sa preto stretávame s kmitmi, ktorých celková energia s časom klesá. Následne klesá aj amplitúda kmitov a kmity po istom čase zaniknú. Na obrázku vpravo sú znázornené tlemené kmity v elektrickom obvode - prúd I sa mení v čase t, no tieto zmeny sa postupne zmenšujú.

[úprava] Malé kmity

Malé kmity sú dôležitým zjednodušením, ktoré nám umožňuje analyticky skúmať kmitajúce sústavy. Ich použitie môžeme ilustrovať na jednoduchej kmitajúcej sústave - matematickom kyvadle.

Schéma síl pôsobiacich na matematické kyvadlo.

Matematické kyvadlo je fyzikálna abstrakcia (zjednodušenie), v ktorej je hmotný bod s hmotnosťou m zavesený na dokonale pevnom, neroztiahnuteľnom a nehmotnom závese dĺžky l. Za predpokladu, že na túto sústavu nepôsobí odpor prostredia, po vychýlení z rovnovážnej polohy koná netlmené kmity. Ak meriame výchylku telesa z rovnovážnej polohy uhlom $\varphi$ , o ktorý sa odchyľuje od zvislice, môžeme pomocou Newtonových zákonov zapísať jeho pohybovú rovnicu v tvare

$\varepsilon=-\frac{g}{l}\sin\varphi.$

Tu $\varepsilon$ je uhlové zrýchlenie telesa, teda

$\varepsilon=\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}.$

Dosadením tohto vyjadrenia do pohybovej rovnice matematického kyvadla dostávame diferenciálnu rovnicu opisujúcu matematického kyvadla v tvare $\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{l}\sin\varphi.$ Táto rovnica sa však nedá analyticky riešiť. Je však možné skúmať malé kmity, kedy výchylka kyvadla $\varphi$ neprevyšuje približne päť stupňov. Pre malé uhly totiž platí vzťah $\sin\varphi\approx\varphi$ , použitím ktorého sa predcházajúca rovnica zjednoduší do tvaru

$\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{l}\,\varphi.$

Toto už je lineárna diferenciálna rovnica, ktorej riešenie je jednoduché a vedie k harmonickým kmitom s kruhovou frekvenciou $\omega=\sqrt{g/l}$ a periódou $T=2\pi\sqrt{l/g}$ .

Zhrnutím skúmania matematického kyvadla je to, že zatiaľ čo kmity pozorujeme v mnohých systémoch, analyticky ich dokážeme riešiť vtedy, keď je navracajúca sila priamo úmerná výchylke. Takýto druh závislosti môžeme často dosiahnuť tým, že sa obmedzíme na skúmanie malých výchyliek.