Amplitúda pravdepodobnosti

Z Wikipédie

Amplitúda pravdepodobnosti je dôležitý pojem z kvantovej mechaniky, ktorý vyjadruje naše poznatky o systéme, pravdepodobnosť nájsť ho v určitom stave.

[úprava] Amplitúda pravdepodobnosti pre polohu

Ak sa pod spomínaným určitým stavom myslí napríklad poloha častice v priestore, dostávame sa k najbežnejšiemu prípadu. Vtedy sa pod amplitúdou pravdepodobnosti pre nejakú časticu myslí komplexná funkcia (teda funkcia, ktorej hodnotami sú komplexné čísla) súradníc, označujeme ju vtedy $Ψ(x, y, z)$ . Názov amplitúda pravdepodobnosti potom vyplýva z toho, že druhá mocnina tohto $Ψ$ má dôležitý fyzikálny význam, určuje pravdepodobnosť (resp. hustotu pravdepodobnosti). Konkrétne v našom prípade $Ψ(x, y, z)$ ide o hustotu pravdepodobnosti $\varrho(x,y,z)$ výskytu skúmanej častice v danom bode priestoru so súradnicami $(x, y, z)$ . Platí teda

$\varrho(x,y,z)=|\Psi(x,y,z)|^2=\Psi^*\Psi,$

hviezdičkou sme tu označili komplexne združené číslo. Pre funkciu $Ψ(x, y, z)$ sa často používa aj názov vlnová funkcia. Vyjadruje totiž všetku možnú informáciu o systéme - pravdepodobnosť nájdenia častice v ľubovoľnom bode priestoru.

Z toho, že skúmaná častica sa niekde v priestore určite nachádzať musí vyplýva, že ak si priestor rozdelíme na malé časti a sčítame pravdepodobnosti nájdenia častice v niektorej z týchto malých častí, musíme dostať jednotku (istú udalosť). Uvedenému sčítaniu matematicky zodpovedá integrál cez celý priestor $Ω$ a ten má byť rovný jednej. Platí teda

$\int_{\Omega} |\Psi(x,y,z|^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=1.$

Toto sa nazýva normovacia podmienka pre vlnovú funkciu $Ψ(x, y, z)$ .

Vlnová funkcia $Ψ(x, y, z)$ vystupuje v základnej rovnici kvantovej mechaniky, Schrödingerovej rovnici (tá plní v kvantovej mechanike presne tú istú úlohu ako Newtonova rovnica v bežnej mechanike zo strednej školy - hovorí o tom, ako sa systém vyvíja v čase).

[úprava] Amplitúda pravdepodobnosti a princíp superpozície

Amplitúda pravdepodobnosti sa v kvantovej mechanike objavuje aj v inom kontexte, v súvislosti s princípom superpozície. Podľa neho sa kvantovomechanická sústava (napríklad elektrón v atóme) môže nachádzať v superpozícii dvoch alebo viacerých stavov. Ak uvažujeme superpozíciu stavov $Ψ 1$ a $Ψ 2$ , potom platí

$Ψ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2,$

kde $c 1$ a $c 2$ sú nejaké (opäť komplexné) konštanty a tie nazývame amplitúdy pravdepodobnosti. Je to tak preto, lebo druhé mocniny ich absolútnych hodnôt majú opäť význam pravdepodobnosti. Napríklad teraz je $| c 1 | 2$ pravdepodobnosť nájdenia sústavy v stave $Ψ 1$ a $| c 2 | 2$ je pravdepodobnosť nájdenia sústavy v stave $Ψ 2$ . Keďže sme si povedali, že náš systém sa teraz nachádza v superpozícii stavov $Ψ 1$ a $Ψ 2$ , v žiadnom inom stave ho ani nájsť nemôžeme. Z toho vyplýva, že súčet oboch spomínaných pravdepodobností musí byť rovný jednej. Nakoniec teda zisťujeme, že čísla $c 1$ a $c 2$ nie sú úplne ľubovoľné, ale sú zviazané vzťahom (tzv. normovacou podmienkou)