Wykres (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wykres - sposób przedstawiania informacji, równań, formuł, relacji, funkcji i innych obiektów w matematyce i pokrewnych naukach jako podzbiorów pewnych produktów kartezjańskich.

Warto zauważyć, że z formalnego punktu widzenia, wiele obiektów w matematyce jest identycznych (tożsamych) z ich wykresami. Często jednak obiekty te mają inne intuicyjne czy też historyczne definicje i wówczas rozważanie ich wykresów ma spore znaczenie dydaktyczne (jak i jest krokiem wstępnym do formalizacji tychżesz pojęć). Przykładami takich obiektów są relacje czy też funkcje.

[edytuj] Wykres równania

Przypuśćmy, że $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest równaniem w liczbach rzeczywistych którego zmienne są zawarte wśród $x_1,\ldots,x_2$ . Zbiór rozwiązań tego równania, to zbiór wszystkich n-ek uporządkowanych liczb rzeczywistych $(a_1,\ldots,a_n)\in {\mathbb R}^n$ które spełniają to równanie (czyli takich, że $R(a_1,\ldots,a_n)=0$ jest spełnione). Zbiór wszystkich rozwiązań równania $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest więc podzbiorem produktu kartezjańskiego ${\mathbb R}^n$ . Czasami zbiór ten jest nazywany wykresem równania.

Zatem, wykresem równania $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest zbiór $\{(a_1,\ldots,a_n)\in {\mathbb R}^n:R(a_1,\ldots,a_n)=0\}$ . W przypadku gdy mamy doczynienia tylko z dwoma lub trzema zmiennymi, to wykresy równań mogą reprezentować znajome obiekty geometryczne:

Konchoida de Sluze dla różnych wartości parametru a

Wykresem równania $6 x + 7 y - 13 = 0$ (czyli zbiorem $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:6x+7y-13=0\}$ ) jest prosta przechodząca przez punkty $(1,1)$ i $(0,13 / 7)$ ;
wykresem równania $(x - 2) 2 + (y - 3) 2 - 16 = 0$ (czyli zbiorem $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:(x-2)^2+(y-3)^2-16=0\}$ ) jest

okrąg o środku w punkcie $(2,3)$ i promieniu 4;

dla niezerowej liczby a, wykresem równania $(x - 1)(x 2 + y 2) = a x 2$ jest konchoida de Sluze.

[edytuj] Wykres relacji

Przypuśćmy, że ρ jest relacją n-członową na zbiorze X. Wówczas wykresem relacji ρ nazywamy zbiór $\{(a_1,\ldots,a_n)\in X^n: a_1,\ldots,a_n$ są w relacji $ρ}$ .

Należy zauważyć, że formalna definicja relacji jest właśnie taka, że relacja i jej wykres to jedno i to samo.

Niech $ρ$ będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek $x$ jest w relacji $ρ$ z $y$ wtedy i tylko wtedy gdy $x\leq y$ . Wówczas wykresem relacji $ρ$ jest zbiór $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x\leq y\}$ , czyli domknięta półpłaszczyzna powyżej prostej $y = x$ ;
niech $ρ'$ będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek $x$ jest w relacji $ρ'$ z $y$ wtedy i tylko wtedy gdy $(x-2)^2+(y-3)^2\leq 16$ . Wówczas wykresem relacji $ρ'$ jest domknięte koło o środku w punkcie $(2,3)$ i promieniu 4.

[edytuj] Wykres funkcji

Szczególnym przypadkiem wykresu relacji jest wykres funkcji.

[edytuj] Wykres formuły

Przedstawione powyżej przykłady wykresów mają wspólne uogólnienie w języku teorii modeli. Przypuśćmy że τ jest alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ . Przypuśćmy też że M jest modelem dla ${\mathcal L}(\tau)$ oraz $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ jest formułą w języku ${\mathcal L}(\tau)$ której zmienne wolne są zawarte wśród $x_1,\ldots,x_n$ . Wykresem formuły $\varphi$ w modelu M nazywamy zbiór