Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
2 Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym
- 2.1 Teza
- 2.2 Dowód
3 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

[edytuj] Teza

Niech $(\Omega, \mathcal F, P)$ przestrzenią probablistyczną, zaś $I \subseteq N$ będzie zbiorem wskaźników. Jeżeli zdarzenia $H_i \in \mathcal F,\, i \in I$ są rozbiciem $Ω$ na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, czyli:

$H_i\cap H_j = \varnothing$ dla $i, j \in I, i \neq j$ ,
$\bigcup_{i \in I}\, H_i = \Omega$ ,
$\forall_{i \in I}\, P(H_i)>0$ ,

to dla dowolnego zdarzenia $A \in \mathcal F$ :

$P(A)=\sum_{i \in I} P(A|H_i)P(H_i)$ ,

gdzie symbol $P (A | H i)$ oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $H i$ .

Zdarzenia $H i$ nazywa się czasem hipotezami.

[edytuj] Dowód

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa mamy

$P(A) = P \left( \bigcup_{i \in I} A \cap H_i \right) = \sum_{i \in I} P(A \cap H_i) = \sum_{i \in I}~P(A|H_i)P(H_i)$ .

[edytuj] Zastosowania

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie - zgodnie ze swą nazwą - pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

[edytuj] Przykład

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwu fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X są działają dłużej niż 5000 godzin w 99% procentach przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% zarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

${6 \over 10}\cdot{99 \over 100}+{4 \over 10}\cdot{95 \over 100}={{594 + 380} \over 1000}={974 \over 1000}$ ,

gdzie

$P(B_1)={6 \over 10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
$P(B_2)={4 \over 10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia , że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
$P(A|B_1)={99 \over 100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
$P(A|B_2)={95 \over 100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

[edytuj] Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym

[edytuj] Teza

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie $B \in \mathcal F$ dla którego $P (B) > 0$ . Zachodzi wtedy wzór

$P(A|B)=\sum_{i \in I} P(A|B \cap H_i)P(H_i|B)$ .

[edytuj] Dowód

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę otrzymując w ten sposób lewą lub też zauważyć, iż $P(\cdot|B)=P_B(\cdot)$ jest prawdopodobieństwem. Jest więc sens mówić o $P B (A | C)$ – prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $C$ , gdy wiemy, że zaszło zdarzenie $B$ . Zachodzi równość: