Metryka Hausdorffa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa jest to odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej X. Definiuje się ją następująco:
Niech (X, d) będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a H(X) przestrzenią, której elementami sa zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni X. Niech A i B będą elementami przestrzeni H(X), a x, y elementami przestrzeni X, przy czym $x \in A, y \in B$ . Wyrażenia:

$d(x,B)=min \{ d(x,y), y \in B \}$

$d(y,A)=min \{ d(x,y), x \in A \}$

oznaczają odpowiednio odległość punktu x od zbioru B i odległość punktu y od zbioru A. Z kolei wyrażenia:

$d(A,B)=max \{d(x,B), x \in A \}$

$d(B,A)=max \{d(y,A), y \in B \}$

oznaczają odpowiednio odległość zbioru A od zbioru B i odległość zbioru B od zbioru A. Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów A i B.

Uwaga
Odległości d(A,B) i d(B,A) mogą być różne.
Przykład
W przestrzeni (R^2, d) z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: A:= [-1, 0.5] x [-1, 0.5] oraz B:= [0,1] x [0,1]. Odpowiednie odległości wynoszą:

$d(A,B)= \sqrt2$

$d(B,A)= \sqrt2/2$

Metryka Hausdorffa h jest dana wzorem:

$h(A,B)=max \{d(A,B), d(B,A) \},\mbox { dla } A, B \in H(X)$

Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku $δ$ -otoczeń. Dla danego zbioru A i $δ > 0$ oznaczamy $B (x,δ)$ kulę o środku x i promieniu $δ$ oraz określamy

$A_\delta=\bigcup_{x\in A} B(x,\delta).$

Wówczas metryka Hausdorffa dana jest jako

$h(A,B) = inf \{\delta: B\subset A_\delta$ oraz $A\subset B_\delta\}.$

Przestrzeń (H(X), h) z wprowadzoną metryką Hausdorffa h jest przestrzenią metryczną zupełną. Topologia przestrzeni (H(X), h) zależy od topologii przestrzeni (X, d). Jeżeli X jest przestrzenią zwartą to H(X) też jest przestrzenią zwartą.

[edytuj] Uogólnienia

Metryka Hausdorffa może być definowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni X. W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni H(X) będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni X, ale też od użytej w X metryki d.
Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Jednak taka funkcja nie będzie spełniać warunków metryki (odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).