Lematy Borela-Cantelliego

Z Wikipedii

Lematy Borela-Cantelliego to lematy (wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb) dotyczące ciągów zdarzeń losowych.

Niech A₁, A₂, A₃, ... będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni próbek.

Spis treści 1 Pierwszy lemat Borela-Cantelliego 2 Drugi lemat Borela-Cantelliego 3 Przykład 4 Zobacz również

[edytuj] Pierwszy lemat Borela-Cantelliego

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń A₁, A₂, A₃, ... jest zbieżny, tj.

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A₁, A₂, A₃, ... wynosi 0.

[edytuj] Drugi lemat Borela-Cantelliego

Jeśli zdarzenia A_i są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A₁, A₂, A₃, ... wynosi 1.

[edytuj] Przykład

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech A_k oznacza zdarzenie polegające na tym, że k-ty, k+1 i k+2 rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia A₁, A₂, A₃, ..., A_n, ... nie są niezależne, ale zdarzenia A₁, A₄, A₇, ... A_3n+1, ... są. Każde zdarzenie A_k ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantelliego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

[edytuj] Zobacz również

• Prawo iterowanego logarytmu,
• Proces Bernoulliego.