IFS (geometria fraktalna)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

IFS (z ang. iterated function system) zwany też systemem funcji iterowanych, systemem iterowanych kontrakcji albo przekształceń zwężających to rodzina funkcji za pomocą której konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach kompresji danych, zwłaszcza graficznych.

Spis treści

1 Definicja
2 Metoda iteracji
3 Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa
4 Przykłady
5 Literatura
6 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja

Załóżmy dla pewnego ustalonego $m\in \mathbb{N}$ , m>2, mamy rodzinę funkcji F_i, i=1,2,..m, określoną na pewnym podzbiorze $X\subset \mathbb{R}^d$ . Załóżmy ponadto że każda funkcja jest kontrakcją o skali r_i<1, tzn.

$|F_i(x) - F_i(y)| \le r_i|x-y|.$

Istnieje wówczas dokładnie jeden niepusty zbiór zwarty K taki, że

$K=\bigcup_{i=1}^m F_i(K)$ .

Zbiór ten nazywamy atraktorem danego IFS, często - choć nie zawsze - jest to interesujący fraktal. Powyższe zaś twierdzenie dostarczające metody konstrukcji fraktali określa się ogólnie jako IFS. W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji F_i.

[edytuj] Metoda iteracji

Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie F, które dany zbiór A zmienia w sumę obrazów przez $F i$ , tzn.

$F(A) = \bigcup_{i=1}^m F_i(A),$

to wówczas kolejne obrazy F(A), F(F(A)), F(F(F(A))... będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego zbioru początkowego A zaczniemy. Dokładniej,

$F^k(A) \to K$