Dywan Sierpińskiego
Z Wikipedii
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Formalnie rzecz biorąc, oznacza to operację składającą się z nieskończonej ilości kroków, więc ściśle definiuje się w następujący sposób:
Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów (x,y), 0≤x≤1, 0≤y≤1 takich, że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.
[edytuj] Wymiar fraktalny
Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1.8928...
[edytuj] Dywan jako krzywa
Zdumiewające jest to, że dywan Sierpińskiego jest krzywą według obecnie uznawanej definicji! Obecnie przyjmowana definicja krzywej jest równoważna (na płaszczyźnie) def. Cantora krzywych płaskich (zobacz art. krzywa).
[edytuj] Pole powierzchni
Można udowodnić, że pole powierzchni dywanu Sierpińskiego wynosi 0.
Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy za każdym razem 8n kwadratów o boku (1/3)n+1 każdy, czyli polu (1/9)n+1 każdy (n=0,1,2,...). Tym samym pole pozostałej figury po n+1 iteracjach wynosi:
Suma tego szeregu geometrycznego wynosi w nieskończoności:
więc
