Binomialkoeffisient
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
![](../../../upload/shared/thumb/f/f3/Crystal_Clear_action_spellcheck.png/20px-Crystal_Clear_action_spellcheck.png)
I statistikk og matematikk, spesielt innen kombinatorikk, er Binomialkoeffisienten av et naturlig tall n og et heltall k definert som det naturlige tallet
og
der m! betegner fakultetet av m. Ifølge Nicholas J. Higham, ble notasjonen
introdusert av Albert von Ettinghausen i 1826, selv om disse tallene var kjent i århundrer før dette; se Pascals trekant.
Binomialkoeffisienten av n og k blir også skrevet som C(n, k), nCk eller (C står for det engelske ordet combination) og leses "n velg k". For å spare plass bruker vi den første av disse tre notasjonene.
For eksempel kan binomialkoeffisienten brukes til å beregne hvor mange mulige tallkombinasjoner som finnes i Lotto:
Hvilket igjen betyr at sannsynligheten for å få sju rette i Lotto på en gitt rekke er:
Binomialkoeffisientene er koeffisienter i utvidelsen av binomet (x + y)n (derav navnet):
Dette generaliseres ved binomialformelen, som tillater eksponenten n å være et komplekst tall, (spesielt tillater dette n å være ethvert reelt tall, ikke nødvendigvis bare positive heltall).
[rediger] Derivasjon fra binomutvidelse
Når eksponenten er 1, blir (x + y)1 til x + y. Når eksponenten er 2, blir (x + y)2 til (x + y)(x + y), som former ledd som følger. Det første leddet får vi ved å gange x fra begge faktorene, slik at vi får x2; likeså for y, slik at vi får leddet y2. Men xy leddet kan formes av x fra den første og y fra den andre faktoren, eller y fra den første og x fra den andre faktoren; derfor får leddet koeffisienten 2. Når eksponenten er 3, reduseres (x + y)3 til (x + y)2(x + y), hvor vi allerede vet at (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Igjen oppstår ekstremene x3 og y3 på et unikt vis. Men leddet x2y er enten 2xy ganget med x eller x2 ganget med y, som gir koeffisienten 3; likeså oppstår xy2 på to måter, ved å summere koeffisientene 1 og 2 får vi 3.
Dette foreslår en induksjon. Slik at for eksponenten 4, har hvert ledd sammenlagt grad (sum av eksponentene) på 4, med 4-k faktorer av x og k faktorer av y. Hvis k ikke er 0 eller 1 (leddene x4 eller y4), da oppstår leddet på to måter, fra tilstøtende koeffisienter med sammenlagt grad 3. For eksempel x2y2 er begge xy2 ganget med x og x2y ganget med y, slik at leddets koeffisienten blir 3+3. Dette er opprinelsen til Pascals trekant, som er diskutert nedenfor.
Sett fra et annet perspektiv, for å forme xn − kyk fra n faktorer av (x + y), må vi velge y fra k av faktorene og x fra resten. Vi teller mulighetene ved å betrakte de n! permutasjonene av faktorene. Hver permutasjon fremstilles som en uordnet liste med tall fra 1 til n. Vi velger en x fra de n−k første faktorene, og en y fra de resterende k faktorene; på denne måten vil hver permutasjon bidra til leddet xn − kyk. For eksempel, listen 〈4,1,2,3〉 velger x fra faktorene 4 og 1, og y velger faktorer fra 2 og 3, som en måte å forme leddet x2y2.
- (x +1 y)(x +2 y)(x +3 y)(x +4 y)
Men den distinkte listen 〈1,4,3,2〉 gjør akkurat det samme utvalget; formelen for binomialkoeffisienten må fjerne denne overflødigheten. De n-k faktorene av x har (n−k)! permutasjoner, og de k faktorene av y har k! permutasjoner. Derfor er n!/(n−k)!k! antall virkelig distinkte måter å forme leddet xn − kyk.
Diskusjonen kan videreføres til tilfellet hvor hver faktor er en sum av flere variabler, som naturligvis leder til definisjonen av en multinomialkoeffisient. En gunstig notasjon bruker en liste av variabler , med eksponentene gitt i en annen liste, E = (e1,...,em), kjent som et multi-indeks. Leddene i utvidelsen av (x1 + ... + xm)n har formen
hvor | E | = e1 + ... + em = n, og koeffisienten til et slikt ledd er multinomialkoeffisienten
Den enkle binomialkoeffisienten er tilfellet der m=2.
[rediger] Pascals trekant
Pascals regel er det viktige gjentakelsesforholdet
som følger direkte fra definisjonen. Dette gjentakelsesforholdet kan brukes til å bevise, ved matematisk induksjon, at C(n, k) er et naturlig tall for alle n og k, et faktum som ikke er umiddelbart tydelig utifra definisjonen.
Den gir også opphav til pascals trekant:
row 0 1 row 1 1 1 row 2 1 2 1 row 3 1 3 3 1 row 4 1 4 6 4 1 row 5 1 5 10 10 5 1 row 6 1 6 15 20 15 6 1 row 7 1 7 21 35 35 21 7 1 row 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
rad nummer n inneholder tallene C(n, k) for k = 0,...,n. Den konstrueres ved å begynne med enere på utsiden og så legge sammen nabotall og skrive summen rett under. Denne metoden gjør det mulig å raskt regne ut binomial koeffisienter uten å måtte bruke brøk eller multiplikasjon. For eksempel, ved å se på den femte raden i trekanten, kan en straks lese av at
.
Differansene mellom elementer på andre diagonaler er elementene på forrige diagonal - slik som følger av gjentakelsesforholdet (3) ovenfor.
I Precious Mirror of the Four Elements (1303), nevner Zhu Shijie trekanten som en eldgammel metode for å løse binomialkoeffisienter, noe som indikerer at metoden var kjent for kinesiske matematikere fem århundrer før Pascal.
[rediger] Kombinatorikk og statistikk
Binomialkoeffisienter er av stor betydning i kombinatorikk, fordi de gir ferdige formler for visse hyppige telleproblemer:
- Alle mengder med n elementer har C(n,k) forskjellige delmengder som har k elementer hver (disse kalles k-kombinasjoner).
- Antallet strenger av lengde n som inneholder k ett-tall og n−k null-tall er C(n,k).
- Det finnes C(n + 1,k) strenger som består av k ett-tall og n null-tall slik at ingen ett-tall er tilstøtende.
- Antallet sekvenser som består av n naturlige tall som har summer lik k er C(n + k − 1,k); dette er også antallet måter å velge k elementer ut av en mengde med n hvis tilbakelegging er tillat.
- Catalantallene har en enkel formulering som involverer binomialkoeffisisnter; de kan brukes til å telle diverse strukturer, slik som trær og parantesuttrykk.
Binomialkoeffisienter forekommer også i formelen for binomisk distribusjon i statistikk og i formelen for en Bézier kurve.
[rediger] Formeler som inneholder binomialkoeffisienter
Følgende formeler kan være nyttige:
Dette utledes fra (2) ved at (x + y)n = (y + x)n, og dette viser seg i den numeriske "symmetrien" i Pascals trekant.
Fra (2) ved å bruke at x = y = 1. Dette er det samme som å si at summen av elementene av en rad i Pascals trekant alltid tilsvarer to opphøyd i et heltall.
Fra (2), etter å ha derivert og satt inn x = y = 1.
Siden C(n, k) er definert som null hvis k > n, er summen endelig. Ved å utvide (1+x)m (1+x)n-m = (1+x)n med (2). Likning (7a) generaliserer likning (3). Likning (7a) er Vandermonde's konvolusjonsformel (etter Alexandre-Théophile Vandermonde) og er essensielt en form for Chu-Vandermonde identiteten. Den kan vises å gjelde for tilfeldige, komplekse m og n.
Likning (7a) gjelder for alle verdier av m, mens likning (7b) gjelder for alle verdier av j.
Fra (7) ved å bruke m = k = n og (4).
Her betegner F(n + 1) Fibonacci-tallene. Denne formelen om diagonalene i Pascals trekant kan bevises med induksjon ved å bruke (3).
Dette kan bevises ved induksjon av n ved å bruke (3).
[rediger] Divisorer til binomialkoeffisienter
Primtallsdivisorer til C(n, k) kan tolkes som følger: Hvis p er et primtall og r er den høyeste eksponenten slik at slik at pr er delelig med C(n, k), da er r likt antallet naturlige tall j slik at brøkdelen av k / pj er større enn brøkdelen av n / pj. Særskilt er C(n, k) alltid delelig med n/gcd(n, k).
[rediger] Grenser for binomialkoeffisienter
Følgende grenser for C(n, k) gjelder:
[rediger] Generalisering til reele og komplekse argumenter
Binomialkoeffisienten kan defineres for alle komplekse tall z og alle naturlige tall k som følger:
Denne generaliseringen er kjent som den generelle binomialkoeffisienten og er brukt i utredningen av binomialformelen og oppfyller egenskapene (3) og (7).
For fast k, er uttrykket et polynom i z av grad k grad med rasjonale koeffisienter.
f(z) er det unike polynomet av grad k som oppfyller
- f(0)=f(1)=...=f(k-1)=0
og
- f(k)=1.
Ethvert polynom p(z) av grad d kan skrives på formen
Dette er viktig i teorien om differenslikninger og kan bli sett på som en diskret analog til Taylors teorem.
Newtons binom serie får den enkle formen
.
Det er ikke vanskelig å vise at rekkens konvergensradius er 1.
[rediger] Generalisering til q-serie
Binomialkoeffisienten har en q-analog generalisering kjent som Gauss binomet.
[rediger] Se også
- Fakultet (matematikk)
- Liste over fakultet og binom emner
[rediger] Referenser
Denne artikkelen bruker materiale fra følgende PlanetMath artikler, som er lisensiert under GFDL: Binomial Coefficient, Bounds for binomial coefficients, Proof that C(n,k) is an integer, Generalized binomial coefficients.