계수 (선형대수학)

선형대수학에서 어떤 행렬의 열계수(列階數, column rank)는 주어진 체에서 선형독립 열 벡터의 최대 개수이다. 마찬가지로 행계수(行階數, row rank)는 선형독립인 열 벡터의 최대 개수로 정의한다.

행렬에서 열계수와 행계수는 항상 같기 때문에, 이 둘을 합쳐서 A의 계수(階數 row rank)라고 부른다. 흔히 rk(A)라고 쓰거나 rank A라고 쓴다.

[편집] 다른 정의

체 F를 m×n 행렬 A가 가질 수 있는 독립인 열의 최대 개수는 A의 열공간의 차원과 같다. 열계수는 행계수와도 같으므로 rank를 행렬 A의 행공간의 차원으로도 정의할 수 있다.

행렬 A를 다음과 같이 하나의 사상으로 볼 수 있다.

f : Fⁿ → F^m

f(x) = Ax

이때 A의 계수는 상 f의 차원으로도 정의할 수 있다.

A가 체 F 위에서 정의된 m×n 행렬이고, 위와 같이 상 f를 정의한다고 하자.

$XAY = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

I_r은 r×r 단위행렬이다.

A의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서

$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$

첫번째 열과 세번째 열은 선형독립이지만, 두번째 열은 첫번째 열의 두배와 같고 네번째 열은 첫번째 열과 세번째 열의 합과 같으므로 A의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.