Teorema del guscio sferico
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Il Teorema del guscio sferico descrive la gravitazione all'interno di un guscio sferico cavo.
La sua dimostrazione si deve a Carl Friedrich Gauss, tuttavia lo stesso Newton lo aveva usato per spiegare a Hook la sua teoria della gravitazione, senza però mai metterlo per iscritto.
Il teorema mostra come, all'interno di un guscio sferico di densità omogenea, o di densità che varia in maniera dipendente dalla sola distanza dal centro, il campo gravitazionale sia nullo.
[modifica] Dimostrazione
Suddividiamo il guscio in gusci di spessore infinitesimo dS. Sia P una massa puntiforme all'interno del guscio infinitesimo. Se facciamo passare per P un cono di semiapertura (infinitesima) α il suo asse incontra il guscio nei punti A e B. L'area della superficie del guscio sferico contenuta all'interno del cono dalla parte di A sarà proporzionale al quadrato della distanza PA. Lo stesso dicasi per B. Detta σ la densità la massa dei due volumetti sarà, rispettivamente
Se ora calcoliamo la forza gravitazionale esercitata dai due volumetti su P, detta mP la sua massa, abbiamo
Dato che le due forze agiscono nella stessa direzione, ma sono di verso opposto, essendo uguali in modulo, si annullano, annullando dunque l'influenza del guscio infinitesimo. Con una semplice operazione, estendendo l'integrale al guscio sferico, si vede che il campo gravitazionale, all'interno del guscio sferico, è nullo.
[modifica] Corollario
Estendendo il discorso ad una sfera omogenea di centro O, per un punto P situato all'interno, agli effetti del campo gravitazionale, deve considerarsi solo la materia contenuta all'interno della sfera di centro O, e raggio OP. La cosa si vede facilmente considerando la sfera più grande di raggio R come composta da un guscio sferico di spessore R-OP e da una sfera di raggio OP.
