Prodotto di Kronecker

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In matematica, nel campo dell'algebra lineare, il prodotto di Kronecker, indicato con $\otimes$ , è una operazione tra due matrici di dimensioni arbitrarie, sempre applicabile, al contrario dell'altra più usuale moltiplicazione di matrici.

Indice

1 Definizione
- 1.1 Esempio
2 Proprietà
3 Valori singolari
4 Relazioni col prodotto tensoriale astratto
5 Equazioni matriciali
6 Storia
7 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione

Sia A una matrice m×n e B una matrice p×q, allora il prodotto di Kronecker $A \otimes B$ è una matrice mp×nq definita a blocchi nel modo seguente:

$\ A\otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}$

Cioè, esplicitando ogni termine:

$\ A\otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}.$

Notare che questo prodotto non è un'estensione della sopra citata moltiplicazione "righe per colonne", in quanto la moltiplicazione tra una matrice 3×2 e una 2×3 produce una matrice 6×6, e non una 3×3.

[modifica] Esempio

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\ 1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

[modifica] Proprietà

[modifica] Bilinearità e associatività

Il prodotto di Kronecker è un caso speciale di prodotto tensoriale, dunque è bilineare e associativo:

$A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C \qquad$ (se B e C hanno la stessa dimensione)

$(A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C \qquad$ (se B e C hanno la stessa dimensione)

$(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),$ (k scalare)

$(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),$

Questo prodotto non è commutativo, tuttavia A $\otimes$ B e B $\otimes$ A sono equivalenti per permutazione, cioè esistono matrici di permutazione P e Q tali che $A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q$ . Se A e B sono quadrate, allora sono simili per permutazione, cioè vale che P = Q^T

[modifica] Prodotto misto

Se A, B, C e D sono matrici tali che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e tra B e D, allora esiste anche $(A \otimes B) \cdot (C \otimes D)$ e vale che

$(A \otimes B) \cdot (C \otimes D) = (A \cdot C) \otimes (B \cdot D)$ .

Ne segue che $A \otimes B$ è invertibile se e solo se lo sono A e B e l'inversa è data da $(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.$

[modifica] Spettro

Siano A e B quadrate di ordine n e q rispettivamente e siano λ₁, ..., λ_n gli autovalori di A, μ₁, ..., μ_q quelli di B. Allora gli autovalori di $A \otimes B$ sono

$\lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.$

Ne segue che la traccia è $\operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} A \cdot \operatorname{tr} B$ e che il determinante è $\det(A \otimes B) = (\det A)^q \cdot (\det B)^n$ .

[modifica] Valori singolari

Siano A e B matrici rettangolari con valori singolari non nulli, rispettivamente $σ A, i$ , i=1,..,r_A e $σ B, j$ , j=1,..,r_B.

Allora il prodotto $A \otimes B$ ha r_Ar_B valori singolari che sono esattamente $\sigma_{A,i} \cdot \sigma_{B,j}$ , i=1,..,r_A, j=1,..,r_B.

Dal momento che il rango di una matrice è uguale al numero di valori singolari non nulli, allora è $\operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} A \cdot \operatorname{rank} B$ .

[modifica] Relazioni col prodotto tensoriale astratto

Il prodotto di Kronecker tra matrici corrisponde al prodotto tensoriale astratto di mappe lineari. Specificatamente, se le matrici A e B rappresentano le trasformazioni lineari V₁ → W₁ e V₂ → W₂, allora la matrice $A \otimes B$ rappresenta il prodotto tensoriale tra la due mappe V₁ $\otimes$ V₂ → W₁ $\otimes$ W₂.

[modifica] Equazioni matriciali

Il prodotto di Kronecker può essere usato per la rappresentazione di alcune equazioni matriciali. Si consideri ad esempio l'equazione AXB=C, dove A,B e C sono matrici date e X è incognita. Possiamo riscrivere tale equazione come

$(B^\top \otimes A) \, \operatorname{vec} X = \operatorname{vec} C$

dove se X è di ordine m×n, vec(X) denota il vettore di dimensione m×n formato dalle entrate di X scritte ordinatamente per colonna, cioè

$\operatorname{vec} X = [ x_{11}, x_{21}, \ldots, x_{m1}, x_{12}, x_{22}, \ldots, x_{m2}, \ldots, x_{1n}, x_{2n}, \ldots, x_{mn} ]^\top.$ .

Dalle proprietà enunciate finora, ne viene che l'equazione AXB=C ha un'unica soluzione se e e solo se A e B sono non singolari.

[modifica] Storia

Il prodotto di Kronecker prende il nome da Leopold Kronecker, ma ci sono poche prove che Kronecker sia stato il primo a definirlo e usarlo. In effetti, in passato è anche stato usato col nome di matrice di Zehfuss, da Johann Georg Zehfuss.