Potenza (elettrotecnica)

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In elettrotecnica la potenza è definita come il lavoro svolto da una carica elettrica in un campo elettrico nell'unità di tempo, ovvero la velocità di trasformazione dell'energia, si ha quindi:

$P=\frac{W}{t}$

Dove P è la potenza, W è l'energia che il generatore trasmette alla carica Q e t è l'intervallo di tempo. Ma W è $W = V I t$ dove V è l'unità di misura della tensione (Volt) ed I è l'unità di misura della corrente (Ampere). t è sempre l'intervallo di tempo. Inoltre, poiché $VIt\;$ è uguale ad 1 Joule avremo che $1W=1J/1s\;$ dove 1s è la frazione di tempo t (1 secondo).

In modo equivalente, per ogni istante di tempo, si ha

$p(t) = v(t)\cdot i(t)$

dove $p (t)$ è la potenza entrante(uscente) in una porta di un componente n-porta se la tensione $v (t)$ e la corrente $i (t)$ sono misurati con un verso che rispetti la convenzione degli utilizzatori (convenzione dei generatori).

Indice

1 Potenza assorbita da un resistore lineare
- 1.1 Massimo trasferimento di potenza
2 Circuiti in regime sinusoidale
- 2.1 Rappresentazione fasoriale
- 2.2 Sistemi polifase
3 Energia elettrica e potenza elettrica

[modifica] Potenza assorbita da un resistore lineare

La potenza istantanea assorbita da un resistore lineare, il cui valore di resistenza è R, si può calcolare, in qualsiasi regime di funzionamento, con la legge di Ohm. La potenza p(t) sarà allora data dalla formula generale:

$p(t) = v(t)i(t) = R i^2(t) = \frac{v^2(t)}{R}$

se v(t) e i(t) sono, rispettivamente, la tensione e la corrente misurate nell'istante t sul bipolo secondo la convenzione degli utilizzatori.

[modifica] Massimo trasferimento di potenza

Schema massima potenza ottenibile con circuito Thevenin

Poiché, secondo il teorema di Thevenin, ogni bipolo resistivo (o adinamico) composto cioè da soli resistori, generatori indipendenti, generatori controllati o giratori può essere rappresentato come una serie tra un resistore (detto resistore equivalente di thevenin $R t h$ ) e un generatore di tensione indipendente (generatore equivalente di thevenin $E t h$ ), si può determinare la massima potenza erogabile dal bipolo. Ciò avverrà quando il bipolo stesso è chiuso su un resistore il cui valore di resistenza è uguale alla $R t h$ .

Dimostrazione: Applichiamo ai due morsetti una generica resistenza R. Sia quindi $P = VI = R i^2\,\!$ e $i = \frac{E_{th}}{R+R_{th}}$ . Sostituendo si ottiene la relazione tra la potenza erogata dal circuito e la resistenza applicata: $P = \frac{R \ E_{th}^2}{(R + R_{th})^2}$ . Per ottenere il valore massimo si deve annullare la derivata di questa funzione: $\frac{d P}{d R} = 0$ . Sviluppando si ottiene $P = \frac{E_{th}^2 }{ \frac{R^2 + 2 R R_{th} + R_{th}^2}{R} }$ , quindi ci interessa solo la derivata del denominatore: $\frac{d_{denom} P}{dR} = \frac{R(2R + 2R_{th}) - (R^2 + 2 R R_{th} + R_{th}^2)}{R^2} =$ $= \frac{R^2 - R_{th}^2}{R^2} = 0 \rightarrow R = R_{th}$ .

Ne consegue, tramite una semplice sostituzione, che la potenza massima erogata sarà data dal seguente valore: $P_{max} = \frac{E_{th}^2}{4 R_{th}}$ .

[modifica] Circuiti in regime sinusoidale

Nei circuiti in regime sinusoidale (o corrente alternata) monofase si può definire, a partire dai fasori, la potenza complessa:

$P_c = \frac{\bar{V} \bar{I}^* }{2} = \frac{ V_p e ^ {i \omega t} I_p e ^ {-i (\omega t + \phi)}}{2}$

dove $\bar{V}$ è il fasore della tensione e $\bar{I}^*$ è il coniugato del fasore della corrente (anche in questo caso se tensioni e correnti sono scelti con le convenzione degli utilizzatori la potenza ha un valore positivo quando è assorbita dal bipolo o dalla porta su cui le tensioni e correnti sono misurate).

Le componenti di $P c$ hanno una notevole importanza applicativa:

potenza attiva, parte reale della potenza complessa, ed è la potenza effettivamente assorbita dal circuito;
potenza reattiva, parte immaginaria della potenza complessa, non viene assorbita dal circuito, ma oscilla tra il generatore e il circuito;
potenza apparente, modulo della potenza complessa, pari alla metà del prodotto tra il modulo della tensione ed il modulo della corrente.

I tre valori sono tra loro legati dal fattore di potenza ( $c o s (φ)$ ), che è il coseno dell'angolo di sfasamento tra corrente (I) e tensione (V).
Il valore medio della potenza istantanea è proprio la potenza attiva ed è $P=V I cos (\phi)\;$ e si esprime in Watt (W).
La potenza attiva istantanea è $P(t)= 2 V I cos (\phi) cos(\omega t)^2\;$ .
L'ampiezza di oscillazione della potenza reattiva è $Q=VIsen (\phi)\;$ e si esprime in Volt Ampere Reattivi (VAR).
La potenza reattiva istantanea è $Q(t)= -VIsen (\phi) sin(2 \omega t)\;$ . Essa oscilla al doppio della frequenza di tensione o corrente.
La potenza apparente è $S=VI\;$ e si esprime in voltampere (VA).
Si noti che qui $V$ ed $I$ sono i valori efficaci rispettivamente di tensione e corrente, non le ampiezze dei rispettivi fasori (valori di picco).
( $V_p=\sqrt{2}V, I_p=\sqrt{2}I$ e dunque $VI = \frac{V_pI_p}{2}$ ).

[modifica] Rappresentazione fasoriale

Immaginiamo di tracciare in un diagramma polare di Argand i fasori di corrente e tensione. La tensione è rappresentata da un fasore che dall'origine si dirige orizzontalmente verso destra. Poiché la tensione è presa come riferimento per lo sfasamento non ha componente immaginaria. La corrente invece viene scomposta nella componente reale, che si sovrappone per direzione e verso alla tensione, e nella parte immaginaria, che appare ruotata di 90° (parte superiore del grafico) per le componenti induttive e -90° (parte inferiore del grafico) per le componenti capacitive. La potenza attiva è il prodotto fasoriale di tensione e parte reale della corrente, per cui giace sovrapposta al fasore della tensione (P nel grafico). Il prodotto fasoriale tra tensione e parte immaginaria della corrente origina il fasore Q nel grafico, il cui verso dipende dalla natura dello sfasamento. Se in un circuito è presente sia una parte induttiva si una capacitiva si può facilmente intuire come la potenza reattiva si compensi, in quanto somma fasoriale di due fasori con uguale direzione ma verso opposto.

Dal grafico deriva che il legame tra le tre potenze può essere rappresentato anche graficamente tramite un triangolo rettangolo avente per ipotenusa il fasore della potenza apparente S e come cateti i fasori della potenza attiva P e della potenza reattiva Q. Ovviamente l'angolo tra i cateti sarà un angolo di 90 gradi mentre l'angolo compreso tra P ed S sarà l'angolo φ, cioè l'angolo di sfasamento tra tensione e corrente.

[modifica] Sistemi polifase

Quanto descritto nella sezione precedente è riferito ad un sistema monofase, costituito cioè da un circuito con un unico generatore.

Quando si passi a considerare un sistema costituito da più fasi, per esempio il sistema trifase comunemente utilizzato nella distribuzione elettrica, le potenze sono date dalle seguenti formule, valide per il sistema trifase ma generalizzabili a più fasi:

$P = P1 + P2 +P3\;$

$Q = Q1 + Q2 +Q3\;$

$S = \sqrt { P^2 + Q^2 }$

Una caratteristica del sistema trifase è che la potenza istantanea (ovvero misurata in un istante arbitrariamente piccolo) coincide con la potenza attiva. Per ogni singola fase si ha (Φ è lo sfasamento tra le potenze, ω è l'angolo di sfasamento tra le fasi, t è il tempo):

$P_n = V_n \cdot I_n \cdot \sin{\omega t} \cdot \sin({\omega t - \Phi}) =$

$= V_n \cdot I_n \cdot (\sin^2{\omega t} \cdot \cos{\Phi} - \sin{\Phi} \cdot \sin{\omega t} \cdot \cos{\omega t} =$

$= V_n \cdot I_n \cdot (\frac {1-\cos{2 \omega t}} 2 \cdot \cos{\Phi} - \frac 1 2 \cdot \sin{\Phi} \cdot \sin{2 \omega t}) =$

$= \frac {V_n \cdot I_n} 2 \cdot \cos{\Phi} - \frac {V_n I_n} 2 \cdot \cos (2 \omega t - \Phi)$

L'ultima equazione mostra che la potenza istantanea è composta da un primo termine costante che equivale alla potenza attiva e un secondo termine funzione sinusoidale del tempo. Sommando i valori ottenuti per le tre fasi, i secondi termini delle equazioni, essendo sfasati di 120° si annullano, e la potenza istantanea risulta uguale alla somma dei primi termini, costanti.

[modifica] Energia elettrica e potenza elettrica

È frequente tra i non addetti ai lavori confondere la potenza elettrica con l'energia elettrica, ovvero tra watt e wattora. Questo dipende soprattutto dal fatto che in elettrotecnica l'energia è generalmente espressa in chilowattora (kWh) invece che in Joule, come sarebbe più corretto fare (1 kWh = 3'600'000 Joule). La potenza invece è misurata (correttamente) in watt (1 kilowatt = 1000 watt). Un ulteriore confusione è data dall'uso della lettera W per indicare sia l'energia in fisica che l'unità di misura della potenza, il watt.

Le due grandezze sono in relazione attraverso il tempo: L'energia è il prodotto della potenza per il tempo. Un carico che assorba una potenza di 1 kW per 1 ora avrà assorbito una energia di 1 kWh. Lo stesso carico da 1 kW acceso per 3 ore consumerà 3 kWh. Un carico da 1 kW in 15 minuti consumerà 0,25 kWh (o 250 Wh), mentre un carico da 25 W, dopo 20 ore di accensione avrà consumato 0,5 kWh.

Facciamo una precisazione: c'è in giro un po' di confusione su come indicare correttamente le grandezze elettriche (e non solo quelle!). Molto spesso si trovano in giro scritti del tipo "corrente 10 Amperes": orrore!

Le unità di misura delle grandezze vanno indicate o usando l'abbreviazione in maiuscolo (quindi V, A, W, Ω, Hz), oppure la grandezza per esteso in minuscolo (quindi volt, ampere, watt, ohm, hertz).

Mentre in inglese la "s" finale si aggiunge ai sostantivi per indicare il plurale, in italiano è un errore (quindi "10 watts" inglesi in italiano vanno scritti "10 watt").

I fattori moltiplicativi/divisivi vanno anteposti all'abbreviativo dell'unità di misura badando al fatto che possono essere maiuscoli o minuscoli (mV, kV, MV, mW, kW sono corretti, mentre mVolt, KV, MWatt non lo sono).

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