Notazione multi-indice

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La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la semplificazione di molte formule nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.

Un multi-indice n-dimensionale è un vettore $\alpha = (\alpha_{1}, \alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}) \in \mathbb{N}^n$ , cioè a sole coordinate naturali.

Si definiscono le seguenti regole, per $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n , \mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n$ :

$\alpha \pm \beta:= (\alpha_{1} \pm \beta_{1},\,\alpha_{2} \pm \beta_{2}, \ldots, \,\alpha_{n} \pm \beta_{n})$

$\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{i} \le \beta_{i} \quad \forall\,i$

$| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}$

$\alpha ! = \alpha_{1}! \alpha_{2}! \ldots \alpha_{n}!$

${\alpha \choose \beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)! \, \beta!}={\alpha_{1} \choose \beta_{1}}{\alpha_{2} \choose \beta_{2}}\ldots{\alpha_{n} \choose \beta_{n}}$

$\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}$

$D^{\alpha} := D_{1}^{\alpha_{1}} D_{2}^{\alpha_{2}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}$ , dove $D_{i}^{j}:=\part^{j} / \part x_{i}^{j}$

Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo uno-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:

[modifica] Espansione multinomiale

$\left( \sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}^{}{\frac{k!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}}$

[modifica] Formula di Leibniz

Se u, v sono differenziabili, allora

$D^{\alpha}(uv) = \sum_{\nu \le \alpha}^{}{{\alpha \choose \nu}D^{\nu}u\,D^{\alpha-\nu}v}$

[modifica] Serie di Taylor

Se f è analitica, allora

$f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{D^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}}$

Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come

$P(D) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)D^{\alpha}}$

[modifica] Integrazione parziale

Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ si ha che

$\int_{\Omega}{}{u(D^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(D^{\alpha}u)v\,dx}$

Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.

[modifica] Teorema

Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e $x=(x_1,\ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ allora

$\part^i x^k = \left\{\begin{matrix} \frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} & \hbox{se}\,\, i\le k\\ 0 & \hbox{altrimenti.} \end{matrix}\right.$

Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...

$\frac{d^i}{dx^i} x^k = \left\{ \begin{matrix} \frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} & \hbox{se}\,\, i\le k, \\ 0 & \hbox{altrimenti.} \end{matrix}\right.$ .

Se supponiamo $i=(i_1,\ldots, i_n)$ , $k=(k_1,\ldots, k_n)$ , allora abbiamo che

$\part^i x^k$ $=$ $\frac{\part^{\vert i\vert}}{\part x_1^{i_1} \cdots \part x_n^{i_n}} x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n} = \frac{\part^{i_1}}{\part x_1^{i_1}} x_1^{k_1} \cdots \frac{\part^{i_n}}{\part x_n^{i_n}} x_n^{k_n}$

in quanto per ogni r=1,..,n la funzione $x_r^{k_r}$ dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale $\part/\part x_r$ si riduce alla derivazione ordinaria $d / d x r$ . Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che $\part^i x^k$ si annulla se $i r > k r$ per qualche r=1,..,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione, $i\le k$ nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,..,n viene $\frac{d^{i_r}}{dx_r^{i_r}} x_r^{k_r} = \frac{k_r!}{(k_r-i_r)!} x_r^{k_r-i_r}$ e dunque la tesi del teorema. $\Box$