Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

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Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange serve a ricondurre una funzione il cui insieme di definizione è un insieme aperto a una funzione, detta lagrangiana, che è definita su un insieme compatto. Esso è applicabile a funzione da 2 o più variabili indipendenti e a una sola variabile dipendente. Il metodo è anche detto metodo dei moltiplicatori o metodo di Lagrange .

Questo metodo si basa sul Teorema di Weierstrass garantisce che una funzione continua e definita su un compatto (insieme chiuso e limitato), possiede massimo e minimo assoluti. Tale teorema non vale per insiemi di definizione aperti. La continuità della funzione è la seconda ipotesi necessaria: la funzione iniziale deve essere continua. Solitamente, le funzioni proposte negli esercizi sul metodo di Lagrange di livello universitario sono polinomiali e dunque continue.

Data la funzione f(x,y) vincolata dalla condizione g(x,y) = 0, si definisce la funzione ausiliaria z(x,y)=f(x,y)+ λ·g(x,y), con λ reale. Anche la funzione vincolo g(x,y) è una funzione definita su un insieme aperto più o meno esteso di quello di f(x,y).

La funzione ausiliaria z (o funzione lagrangiana L) è una funzione di tre variabili (x, y e λ) ed è pari alla somma della funzione iniziale per un multiplo del vincolo g(x,y). Il numero λ è chiamato "moltiplicatore di Lagrange". Se il moltiplicatore è nullo: z(x,y)=f(x, y, λ), un vuoto cambiamento di lettere che ci lascia nella situazione iniziale in cui non vale il teorema di Weierstrass.

[modifica] Applicazione del metodo per funzioni con 2 variabili ed un vincolo di eguaglianza

1) Scrivere la funzione lagrangiana .

Lo studio del lagrangiano non fornisce informazioni sul vincolo g(x,y). E' invece fondamentale per studiare la funzione definita su un insieme aperto: i punti critici della funzione lagrangiana sono anche punti critici per la funzione iniziale f(x,y) che si intende studiare. In altre parole, se un punto (x₀,y₀) è di massimo/minimo/sella per la funzione lagrangiana, esso è un punto di massimo/minimo/sella anche per la funzione f(x,y).

2) Calcolare il gradiente della funzione (non f(x,y)).

3) Definire un sistema formato dalle equazioni del gradiente poste uguali e .

La soluzione del sistema le coordinate dei punti critici. Un punto critico è un punto nel quale si annullano le derivate prime e può essere un massimo, un minimo o una un punto di sella per una funzione a due variabili.

4) Si calcolano le derivate seconde e dunque il carattere della matrice hessiana H(f) calcolata per le variabili x e y orlata delle derivate prime del vincolo per ognuno dei punti critici.

Se la matrice orlata è:

• Definita Positiva → il punto e un minimo
• Definita Negativa → il punto e un massimo
• Semidefinita Positiva → il punto potrebbe essere un minimo
• Semidefinita Negativa → il punto potrebbe essere un massimo
• Indefinita → il punto è un punto di sella

I punti critici parabolici ed iperbolici sono anche detti punti critici non degeneri. Invece gli estremi relativi che sono punti ellittici, sono detti punti critici degeneri.

Quando il calcolo dell'hessiano sui punti critici della funzione lagrangiana porta a casi di indeterminazione, la costruzione del lagrangiano è servita solamente al calcolo dei punti critici, e si ritorna ad esaminare la funzione di partenza f(x,y), con lo studio del differenziale.

Per i casi di indeterminazione si ricorre allo studio del differenziale (matematica) di f(x,y) (non del lagrangiano) posto maggiore di zero. Lo studio del segno può essere spinto fino a differenziale di qualunque ordine. Solitamente non si va oltre lo studio del differenziale terzo.

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