Merge sort

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Il merge sort è un algoritmo di ordinamento abbastanza rapido, che utilizza un processo di risoluzione ricorsivo.

L'idea alla base del merge sort è il procedimento Divide et Impera, che consiste nella suddivisione del problema in sottoproblemi via via più piccoli.

Il merge sort opera quindi dividendo l'insieme da ordinare in due metà e procedendo all'ordinamento delle medesime ricorsivamente. Quando si sono divise tutte le metà si procede alla loro fusione (merge appunto) costruendo un insieme ordinato.

L'algoritmo fu inventato da John von Neumann nel 1945.

Indice

1 Esempio pratico
2 Implementazioni
- 2.1 C
- 2.2 C++
- 2.3 Java
3 Analisi delle prestazioni

[modifica] Esempio pratico

Supponiamo di dover ordinare il seguente array:

10 3 15 2 1 4 9 0

Si procede dividendolo in metà successive, fino ad arrivare a coppie:

A questo punto si fondono (merge) in maniera ordinata gli elementi, riunendo le metà:

10 3 -> 3 10

15 2 -> 2 15

 1 4 -> 1  4

 9 0 -> 0  9

Al passo successivo:

3 10 2 15 -> 2 3 10 15

1  4 0  9 -> 0 1  4  9

Infine:

2 3 10 15 0 1 4 9 -> 0 1 2 3 4 9 10 15

L'esecuzione ricorsiva all'interno del calcolatore non avviene nell'ordine descritto sopra, ma si è preferito formulare l'esempio in questo modo in maniera da renderlo più comprensibile.

[modifica] Implementazioni

Seguono alcune implementazioni in vari linguaggi.

[modifica] C

#include <stdio.h>
#define N 8
void mergesort(int a[], int left, int right);
void merge(int a[], int left, int center, int right);
main() {
int a[N], k;
for(k=0; k<N; k++){
  scanf("\t%d ", &a[k]);  
}
mergesort( a, (0), (N-1));
for(k=0; k<N; k++){
  printf("\t%d ", a[k]);  
}
}
void mergesort(int a[], int left, int right){
  int center;
  if (left<right){
       center = (left+right)/2;
       mergesort(a, left, center);
       mergesort(a, center+1, right);
       merge(a, left, center, right);
  }
}
void merge(int a[], int left, int center, int right) {
 int i, j, k; 
 int b[10];
 i = left; j = center+1; k = 0;
 while ((i<=center) && (j<=right)){
       if (a[i] <= a[j]) { b[k] = a[i]; i++; }
       else { b[k] = a[j]; j++;}
       k++;
 }
 while (i<=center) {
     b[k] = a[i]; i++; k++;
 }
 while (j<=right) {
     b[k] = a[j]; j++; k++;
 }
 for (k=left; k<=right; k++)
     a[k] = b[k-left];
}

[modifica] C++

typedef int Item;

void merge(Item a[], int left, int center, int right) {
        const int n=8;
        static Item aux[n];
        int i,j;
        for (i = center+1; i > left; i--) aux[i-1] = a[i-1];
        for (j = center; j < right; j++) aux[right+center-j] = a[j+1];
        for (int k = left; k <= right; k++)
        if (aux[j] < aux[i]) a[k] = aux[j--];
                else a[k] = aux[i++];
}


void mergesort(Item a[], int left, int right) {
        if (left<right) {
                int center = (left+right)/2;
                mergesort(a, left, center);
                mergesort(a, center+1, right);
                merge(a, left, center, right);
        }
}

int main() {
        const int n=8;
        int a[n] = {10, 3, 15, 2, 1, 4, 9, 0};
        mergesort(a,0,n-1);
        return 0;
}

[modifica] Java

import java.util.*;
   
public class Sort{
       private static void mergeSort(int []a, int []vectorTemp, int left, int right ){
               if (left < right){
                       int center = (left + right) /2;
                       mergeSort (a, vectorTemp, left, center);
                       mergeSort (a, vectorTemp, center+1, right);
                       merge (a, vectorTemp, left, center+1, right);
               }
       }
       
       public static void mergeSort(int[]a ){
                int vectorTemp [];
                vectorTemp =new int [a.length];
                mergeSort (a, vectorTemp, 0, a.length-1);
       }

        private static void merge (int[]a, int[]vectorAux, int posLeft, int posRight, int posEnd ){
                int endLeft = posRight -1;
                int posAux = posLeft;
                int numElemen = posEnd - posLeft +1;

                while (posLeft <= endLeft && posRight <=posEnd)
                if ((a[ posLeft ])< (a[posRight]))        
                        vectorAux [posAux++]=a[posLeft++];
                else
                        vectorAux [posAux++] = a[posRight++];

                while (posLeft <= endLeft)
                        vectorAux [posAux++]=a[posLeft++];

                while (posRight <= posEnd)
                        vectorAux [posAux++]=a[posRight++];

                for (int i=0;i<numElemen;i++,posEnd--)
                        a[posEnd]=vectorAux[posEnd];
        }

       public static void main (String [] args){
               int vector[]= { 10, 3, 15, 2, 1, 4, 9, 0};
                mergeSort(vector);
       }
}

[modifica] Analisi delle prestazioni

Il tempo di esecuzione dell'algoritmo Merge Sort è Θ(n log n). Infatti:

- la funzione merge ha costo Θ(n), e mergesort richiama se stessa due volte ogni volta su metà della porzione di input. Quindi possiamo associare al tempo di esecuzione di mergesort la funzione temporale

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+ \Theta(n)$