Matrice trasposta

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In matematica, l'operatore di trasposizione, che si denota con un apice o con una T ad esponente, associa ad una matrice la sua relativa trasposta, ovvero la matrice il cui generico elemento con indici (i,j) è l'elemento con indici (j,i) della matrice originaria. In simboli:

Praticamente, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

[modifica] Proprietà

Se intendiamo la trasposta come una matrice di trasformazione, notiamo che: cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.

[modifica] Esempio

La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e qundi anche su vettori. In partcolare un vettore colonna trasposto è un vettore riga e viceversa.
Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.
La trasposta di una matrice trasposta è uguale alla matrice originaria: (A^T)^T = A.
Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1 ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici A e B di dimensioni opportune si ha che

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari k ed l, vale

(kA + lB)^T = (kA)^T + (lB)^T = kA^T + lB^T.

Più in generale, dati N scalari k_i ed N matrici di pari dimensioni A_i, vale

dove la Σ indica una sommatoria.