Legge di conservazione della quantità di moto

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La conservazione della quantità di moto (o teorema dell'impulso) è una importante legge fisica, che può essere così formulata:

La quantità di moto di un sistema è costante nel tempo se non ci sono forze esterne che agiscono sullo stesso.

Supponiamo di avere un sistema formato da due corpi di massa m₁ e m₂. La quantità di moto del sistema è data da

$\vec P = \vec {p_1} + \vec {p_2}$

In base alla seconda legge della dinamica (o alla prima equazione cardinale), la velocità di variazione della quantità di moto del sistema è pari alla risultante delle forze esterne $\vec {F}_{tot}$ applicata al centro di massa del sistema :

$\frac {\operatorname d \vec {P}}{\operatorname d t} = \vec {F}_{tot}$

Se tale risultante è nulla, ovvero se non ci sono forze esterne ed il sistema è meccanicamente isolato

$\frac {\operatorname d \vec {P}}{\operatorname d t} = 0$ .

Se la derivata di $\vec {P}$ rispetto al tempo è nulla, questo significa che $\vec {P}$ è una costante del moto, ovvero che si conserva. In base alla definizione di quantità di moto totale, vediamo inoltre che

$\frac {\operatorname d \left ( \vec p_1 + \vec p_2 \right )}{\operatorname d t} = \vec 0$ ,

ovvero che la velocità di variazione della quantità di moto del corpo 1 è opposta a quella del corpo 2:

$\frac {\operatorname d \vec p_1}{\operatorname d t} = - \frac {\operatorname d \vec p_2}{\operatorname d t}$ .

Sempre in base alla seconda legge della dinamica, il primo termine di questa espressione può essere interpretato come la forza $\vec F_{12}$ che il corpo 2 esercita sul corpo 1 ed il secondo termine come la forza $\vec F_{21}$ che il corpo 1 esercita sul corpo 2:

$\vec F_{12} = - \vec F_{21}$ .

Questo non è altro che il terzo principio della dinamica, che risulta quindi strettamente correlato alla conservazione della quantità di moto.

Questo argomento può essere facilmente esteso ad un sistema formato da N corpi.

[modifica] Dimostrazione

Quì è riportata una semplice dimostrazione del teorema della quantita di moto.

Dato $\vec F= \frac {\operatorname d \vec {P}}{\operatorname d t}$ come formula della quantità di moto,

possiamo riscriverla partendo dalla legge di Newton $\vec{F}=m\cdot \vec{a}$

in cui l'accelerazione può essere scritta come $\frac {\operatorname d \vec {v}}{\operatorname d t}$

sostituendo $\vec{F} = \frac {m \cdot \operatorname d \vec {v}}{\operatorname d t} = \frac {\operatorname d m \cdot \vec {v}}{\operatorname d t} = \frac {\operatorname d \vec {p}}{\operatorname d t}$

[modifica] Voci correlate

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